8.1.1 Problemstellung. Es seien der Scheitelpunkt und ein weiterer Punkt des Graphen einer (noch) unbekannten quadratischen Funktion gegeben. Ziel ist es, die Funktionsvorschrift zu bestimmen.

8.1.2 Lösungsansatz. Wir wissen, dass bei einer quadratischen Funktion

die Parameter s und t den Koordinaten des Scheitelpunktes (s,t) des Graphen von f entsprechen. Haben wir also den Scheitelpunkt gegeben, so kennen wir schon die Werte von zwei der drei Parameter.

Ist ein weiterer Punkt des Graphen gegeben, so können wir diesen benutzen, um auch den dritten Parameter zu bestimmen. Dazu setzen wir den Punkt einfach in die Funktionsgleichung

ein und lösen nach r auf.

8.1.3 Beispiel. Es sei S = (2,1) der Scheitelpunkt und P = (4,−3) ein weiterer Punkt des Graphen einer quadratischen Funktion f. Wir bestimmen nun die Scheitelpunktform

von f. Dazu gehen wir vor wie im obigen Lösungsansatz erläutert.

Da die Koordinaten des Scheitelpunktes den Parametern s und t entsprechen müssen, erhalten wir deren Werte quasi geschenkt: s = 2 und t = 1. Wir tragen diese Information in die Funktionsvorschrift ein.

Wir müssen nun nur noch den Parameter r bestimmen. Da der Punkt P = (4,−3) nach Voraussetzung auf dem Graphen liegt, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung erfüllen. Das heißt, die Gleichung muss erfüllt sein. Lösen wir diese nun nach r auf, so wissen wir, welchen Wert r haben muss.

Nun haben wir die Funktion vollständig bestimmt.

8.1.4 Aufgabe. Im Folgenden sei S jeweils der Scheitelpunkt und P jeweils ein weiterer Punkt auf dem Graphen einer unbekannten quadratischen Funktion. Bestimme jeweils die Funktionsvorschrift.

1.

S = (0,0), P = (1,4)

2.

S = (0,1), P = (1,5)

3.

S = (1,0), P = (2,4)

4.

S = (0,0), P = (1,−4)

5.

S = (−2,3), P = (0,5)

6.

S = (2,−1), P = (−2,−5)

7.

S = (3,2), P =

8.

S = , P = (−3,−3)