6.1.1 Formel (Binomische Formeln). Für zwei beliebige reelle Zahlen a,b ∈ ℝ gelten die folgenden Formeln:

1.

(a+b)²   =   a² +2ab+b²    (Plus-Formel)

2.

(a−b)²   =   a² −2ab+b²    (Minus-Formel)

3.

(a+b)⋅(a−b)   =   a² −b²    (Plus-Minus-Formel)

Gemäß der obigen Nummerierung werden sie auch erste, zweite, und dritte binomische Formel genannt.

6.1.2 Beispiel.

1.

(10+3)² = 10² +2⋅10⋅3+3² = 100+60+9 = 169

2.

(20−5) = 20² −2⋅20⋅5+5² = 400−200+25 = 225

3.

(9+4)⋅(9−4) = 9² −4² = 81−16 = 65

6.1.3 Beispiel.

1.

23² = (20+3)² = 20² +2⋅20⋅3+3² = 400+120+9 = 529

2.

23² = (30−7)² = 30² −2⋅30⋅7+7² = 900−420+49 = 480+49 = 529

3.

23⋅17 = (20+3)⋅(20−3) = 20² −3² = 400−9 = 391

6.1.4 Aufgabe. Rechne die folgenden Ausdrücke mit Hilfe der binomischen Formeln aus ohne einen Taschenrechner zur Hilfe zu nehmen.

1.

12²

2.

15⋅25

3.

11⋅13

4.

27²

5.

35²

6.

48⋅50

6.1.5 Beispiel. Betrachten wir beispielhaft die Gleichung

Laut der ersten binomischen Formel ist (x+1)² = x² +2x+1. Abgesehen von den konstanten Termen (also den Summanden die nicht von x abhängen) stimmt (x+1)² also mit der linken Seite unserer Gleichung überein. Um die binomische Formel in die Gleichung mit einfließen lassen zu können, benutzen wir einen Trick: Wir addieren geschickt die 0 zur linken Seite der Gleichung. Das “Geschickte” daran ist, die 0 in einer passenden Form darzustellen und zu nutzen. In diesem Fall addieren wir 0 = 1−1.

Das Addieren der 0 hat Nichts am Wert der linken Seite der Gleichung geändert, aber ihre Form so beeinflusst, dass wir die binomische Formel einbringen konnten.

6.1.6 Beispiel. Wenn euch der Trick mit dem Addieren der 0 etwas verwirrt, könnt ihr auch anders vorgehen. Addiert einfach die Zahl, die ihr zum Anwenden der binomischen Formel braucht, auf beiden Seiten der Gleichung hinzu:

Beim Lösen solcher Gleichungen führen letzendlich beide Methoden zum Ziel, wie wir in Abschnitt 6.2 noch sehen werden. In Abschnitt 6.6 müssen wir uns aber doch durch Addieren der 0 Abhilfe schaffen, da wir dort keine Gleichungen betrachten, sondern Funktionen.

6.1.7 Bemerkung und Definition. (quadratische Ergänzung).  Nachdem wir uns an einem Beispiel klar gemacht haben, worauf wir hinaus wollen, wenden wir uns nun dem allgemeinen Fall zu. Wenn wir in einer Gleichung

die erste binomische Formel anwenden wollen, brauchen wir (wie schon im Beispiel oben) einen passenden konstanten Term. Was heißt nun “passend”? Zunächst gilt

Es würde also passen, wenn wir den Summanden ² in die linke Seite unserer Gleichung einbringen könnten. Dazu können wir einfach auf beiden Seiten der Gleichung ² addieren

oder wieder unseren Trick benutzen

Beide Vorgehensweisen haben gemeinsam, dass wir das Quadrat einer Zahl, nämlich ², ergänzen. Wir führen also beide Male eine quadratische Ergänzung durch.

Wozu das Ganze? Zum Einen werden wir in Abschnitt 6.2 sehen, dass uns die quadratische Ergänzung das Lösen von Gleichungen der Form

recht einfach macht. Zum Anderen lernen wir in Abschnitt 6.6, wie man die quadratische Ergänzung nutzen kann, um quadratische Funktionen in eine angenehmere Form zu bringen.