Lineare Funktionen

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5.2 Lineare Funktionen

5.2.1 Definition. Es seien a,b ∈ ℝ reelle Zahlen. Dann nennen wir die Funktion

f :ℝ → ℝ, x↦→ ax+ b

eine lineare Funktion.

5.2.2 Beispiel. Wir geben die Funktionsvorschrift und die zugehörigen Graphen von drei verschiedenen linearen Funktionen an.

Man sieht, dass alle drei Graphen die Form einer Gerade haben. In der Tat sind die Graphen aller linearen Funktionen Geraden.

5.2.3 Definition und Bemerkung. Lineare Funktionen der Form

f :ℝ → ℝ,x↦→ b

mit b∈ ℝ nennt man auch konstante Funktionen, da ihr Funktionswert sich nicht in Abhängigkeit von x verändert, also konstant ist.

Lineare Funktionen der Form

f :ℝ → ℝ,x ↦→ ax

mit 0≠a ∈ ℝ nennt man auch proportionale Funktionen, da der Funktionswert proportional zu x ist, das heißt das Verhältnis zwischen f(x) und x ist konstant. In der Tat gilt für alle x≠0

--x- x- 1- f(x) = ax = a

Also stehen x und f(x) immer im Verhältnis 1 zu a.

Diese beiden Typen von linearen Funktionen haben charakteristische Graphen. Die von konstanten Funktionen sind Parallelen zur x-Achse. Die Graphen von proportionalen Funktionen sind Ursprungsgeraden, das heißt Geraden die durch den Punkt (0,0) verlaufen. Betrachten wir etwa die Graphen zu Beispiel 5.2.2, so sehen wir: Die erste Funktion im Beispiel ist eine konstante Funktion, die zweite ist proportional.

Wir wollen uns nun den Zusammenhang zwischen linearen Funktionen und linearen Gleichungen vor Augen führen. Es sei

f :ℝ → ℝ, x↦→ ax+ b

eine lineare Funktion. Dann erfüllt der Funktionswert f(x) die Gleichung

f(x)= ax+ b

Das heißt, alle Paare (r,f(r))

mit r ∈ ℝ erfüllen die lineare Gleichung

y = ax+ b

Umgekehrt erhalten wir aus jeder linearen Gleichung in zwei Variablen die Abbildungsvorschrift einer linearen Funktion, wenn wir die Gleichung zuerst nach y auflösen und dann y durch f(x) ersetzen.

5.2.4 Beispiel. Wir betrachten die lineare Gleichung