3 Lösung (zu Aufgabe 5.3.6). Den Schnittpunkt mit der y-Achse kann man jeweils einfach ablesen und den y-Achsenabschnitt direkt angeben. Um die Steigung zu berechnen wählen wir uns jeweils zwei Punkte auf der Geraden. Prinzipiell dürfen das beliebige voneinander verschiedene Punkte auf der Geraden sein, um die Berechnung der Steigung zu vereinfachen, sollten diese aber möglichst simple Koordinaten haben. Aus diesem Grund wählen wir in der Regel Punkte mit ganzzahligen Koordinaten. Diese lassen sich zudem auch einfacher und genauer aus der Zeichnung ablesen.

Die schwarze Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,−1). Das heißt, der y-Achsenabschnitt ist −1. Zum Berechnen der Steigung verwenden wir die Punkte (2,1) und (5,4):

Es ergibt sich eine Steigung von 1.

Wir haben hier schon Punkte mit ganzzahligen Koordinaten gewählt, sodass die Berechnung der Steigung relativ einfach war. Wir hätten die Punkte aber auch geschickter wählen können. Da in diesem Fall sowohl der Schnittpunkt mit der y-Achse als auch der mit der x-Achse ganzzahlige Koordinaten haben, würden diese Punkte sich zur Berechnung der Steigung anbieten:

Verwenden wir diese Punkte, so vereinfacht sich die Rechnung zu

Auch bei der grünen Geraden haben die Schnittpunkte mit den beiden Achsen jeweils ganzzahlige Koordinaten: (0,4) und (2,0). Also verwenden wir diese, um die Steigung zu berechnen:

Der y-Achsenabschnitt ist 4.

Eine weitere Taktik, die die Berechnung der Steigung vereinfachen kann, ist es, zwei Punkte zu wählen, deren x-Koordinaten sich genau um 1 unterscheiden. Dadurch ergibt sich der Nenner im Bruch

zu 1 beziehungsweise −1. Die Division fällt dadurch praktisch weg. Verwenden wir etwa die Punkte (0,4) und (1,2), so sieht die Rechnung wie folgt aus:

Die blaue Gerade schneidet die y-Achse im Punkt (0,2). Das heißt, der y-Achsenabschnitt ist 2. Des Weiteren ist die Gerade eine Parallele zur x-Achse. Das heißt, dass alle Punkte auf der Geraden dieselbe y-Koordinate haben, nämlich 2. Der Graph sieht daher wie folgt aus:

Also gilt für beliebige Punkte (x₁,y₁), (x₂,y₂) auf der Geraden, dass y₁ = 2 = y₂. Dementsprechend ist die Steigung gleich 0:

Wir können dies auch anhand zweier konkreter Punkte der Geraden überprüfen: verwenden wir etwa (0,2) und (3,2), so erhalten wir

4 Lösung (zu Aufgabe 5.3.14). In dieser Aufgabe haben wir lineare Funktionen gegeben und sollen ihre Graphen zeichnen. Dabei machen wir uns zu Nutze, dass die Graphen linearer Funktionen Geraden sind, deren Steigung und y-Achsenabschnitt wir einfach von der Funktionsvorschrift ablesen können (siehe Satz 5.3.10).

1.

Wir betrachten die Funktion f₁ : ℝ → ℝ, x↦x+3. Der y-Achsenabschnitt ist nichts weiter als der Funktionswert an der Stelle 0. Das heißt, der y-Achsenabschnitt von f₁ ist f₁(0) = 0+3 = 3. Dementsprechend liegt der Punkt (0,3) auf dem Graphen.

Wir kennen aber die Richtung der Geraden noch nicht. Hier kommt die Steigung ins Spiel. Nach Satz 5.3.10 ist die Steigung von f₁ gleich dem Vorfaktor von x in der Funktionsvorschrift, also gleich 1. Das heißt, um auf der Geraden zu bleiben, müssen wir für jede Einheit die wir im Koordinatensystem nach rechts gehen auch 1 Einheit nach oben gehen. Da der Punkt (0,3) auf der Geraden liegt, liegt auch der Punkt (0+1,3+1) = (1,4) auf der Geraden.

Anhand dieser beiden Punkte können wir den Graphen nun zeichnen.

2.

Wir verfahren mit der Funktion f₂ : ℝ → ℝ, x↦−3x+1 genauso wie wir es mit f₁ getan haben. Der y-Achsenabschnitt von f₂ ist gleich f₂(0) = 1. Das heißt, der Punkt (0,1) liegt auf dem Graphen. Die Steigung ist gleich dem Vorfaktor von x in der Funktionsvorschrift von f₂, also gleich −3. Das bedeutet, dass wir wieder auf der Geraden landen, wenn wir, von dem Punkt (0,1) aus, 1 Einheit nach rechts und −3 Einheiten nach oben (das heißt 3 Einheiten nach unten) gehen. Dementsprechend liegt auch der Punkt (0+1,1−3) = (1,−2) auf dem Graphen.

Der Graph von f₂ entspricht der Geraden die durch diese beiden Punkte verläuft.

3.

Der Funktionswert von f₃ : ℝ → ℝ, x↦x an der Stelle 0 ist gleich 0. Der Graph verläuft also durch den Koordinatenursprung (0,0). Die Steigung beträgt , sodass wir wieder einen Punkt auf dem Graphen erhalten, wenn wir von (0,0) aus 3 Einheiten nach rechts und 2 nach oben gehen.

Der Graph von f₃ entspricht demnach der Geraden die durch die Punkte (0,0) und (0+3,0+2) = (3,2) verläuft.

4.

Der y-Achsenabschnitt des Graphen von f₄ : ℝ → ℝ, x↦−0,2⋅x−2 ist gleich f(0) = −2. Also liegt der Punkt (0,−2) auf dem Graphen. Die Steigung hat einen Wert von −0,2 beziehungsweise −, als Bruch ausgedrückt. Gehen wir also, von (0,−2) aus, 5 Einheiten nach rechts und 1 Einheit nach unten, so erhalten wir wieder einen Punkt des Graphen, nämlich (0+5,−2−1) = (5,−3).

5 Lösung (zu Aufgabe 5.3.18). Wie in der Aufgabenstellung erwähnt, sind diese Geraden exakt dieselben Geraden wie in Aufgabe 5.3.6. Wir werden daher unsere Ergebnisse aus Lösung 3 verwenden. Wir fassen diese hier kurz zusammen:

• Die schwarze Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von −1 und eine Steigung von 1.
• Die grüne Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von 4 und eine Steigung von -2.
• Die blaue Gerade hat einen y-Achsenabschnitt von 2 und eine Steigung von 0.

Um die Aufgabe zu lösen, wenden wir Satz 5.3.10 an, der uns sagt, dass der Graph einer linearen Funktion

eine Gerade mit Steigung a und y-Achsenabschnitt b ist. Wir setzen nun einfach die entsprechenden Werte ein und erhalten folgende zu den gegebenen Graphen passende Funktionsvorschriften:

1.

f_schwarz : ℝ → ℝ, x↦x−1

2.

f_grün : ℝ → ℝ, x↦−2x+4

3.

f_blau : ℝ → ℝ, x↦2