6.7.1 Anleitung (zum Zeichnen von Graphen quadratischer Funktionen in Standardform). Wir betrachten nun quadratische Funktionen der Form

Natürlich können wir jede solche Funktion in Scheitelpunktform bringen und dann gemäß den Anleitungen 6.7.5 und 6.7.6 verfahren. Wir wollen hier aber erst einen vergleichsweise simplen, direkten Weg kennenlernen. Die Idee ist schnell erklärt:

• Wir legen eine Wertetabelle an,
• tragen die dazu korrespondierenden Punkte des Graphen in ein Koordinatensystem ein und
• verbinden diese durch eine Kurve, die in etwa so aussieht als sei sie eine Parabel.

Wir veranschaulichen dieses Vorgehen anhand eines konkreten Beispiels. Dazu betrachten wir die quadratische Funktion

und nehmen an, dass uns eine Skizze des Graphen über dem Intervall [0,6] interessiert. Des Weiteren gehen wir davon aus, dass es ausreicht, die Funktionswerte an den Stellen x = 0,1,...,6 zu berechnen, um den Graphen ausreichend genau skizzieren zu können.

Um die Funktionswerte an diesen Stellen übersichtlich darzustellen, tragen wir sie in eine Tabelle ein.

Die errechneten Werte korrespondieren zu Punkten auf dem Graphen von f. So sagt uns der Funktionswert f(0) = 5 von f an der Stelle 0, dass der Punkt (0,5) auf dem Graphen liegt. Tragen wir diesen und die sechs anderen Punkte in ein Koordinatensystem ein, so ergibt sich folgendes Bild:

Nun müssen wir diese Punkte nur noch durch einer Kurve verbinden, die ungefähr wie eine Parabel aussieht.

6.7.2 Bemerkung. Um Anleitung 6.7.1 übersichtlich und möglichst simpel zu halten, haben wir das dort betrachtete Beispiel so gewählt, dass uns die Wertetabelle die Koordinaten des Scheitelpunktes liefert. Des Weiteren sind die anderen sechs berechneten Punkte sinnvoll um den Scheitelpunkt verteilt: eng genug beisammen, aber nicht zu weit voneinander entfernt. Eben so, dass man den Verlauf des Graphen anhand dieser Punkte gut erahnen kann.

Wir wollen uns nun anschauen, was passiert, wenn dem nicht so ist. Dazu betrachten wir wieder die Funktion

aus Anleitung 6.7.1. Wenn wir uns keine Gedanken darüber machen, wo der Scheitelpunkt ungefähr liegen könnte, sondern einfach nur Funktionswerte an irgendwelchen Stellen berechnen, könnte die resultierende Wertetabelle wie folgt aussehen: Zunächst würde man den Punkt (−2,13) wohl schon direkt verwerfen wollen, weil die y-Koordinate soviel größer ist, als die der meisten anderen Punkte, dass es schon unangenehm wird, das Koordinatensystem so anzulegen, dass er noch hinein passt. Die restlichen fünf Punkte liefern einem aber auch kein sonderlich hilfreiches Bild.

Wählen wir eine andere Wertetabelle, in der die Funktionswerte in einem angenehmeren Bereich liegen, so könnte sich folgendes Bild ergeben:

Hier lässt die bessere Verteilung der Punkte den Verlauf des Graphen schon wesentlich leichter erkennen. Allerdings ist in diesem Fall der Scheitelpunkt nicht dabei, sodass wir dessen Lage raten müssten.

Natürlich lassen sich beide Bilder durch das Berechnen weiterer Punkte soweit verbessern, dass es einfach wird den Graph zu skizzieren. Allerdings bedeutet dies auch mehr Arbeit, insbesondere dann, wenn man die Punkte dicht beieinander haben will. So wäre es beispielsweise schon recht viel Arbeit, die folgende Wertetabelle auszufüllen:

Fazit: Am einfachsten ist das sinnvolle Wählen der x-Koordinaten in einer Wertetabelle, wenn man weiß, wo sich der Scheitelpunkt der zu zeichnenden Parabel befindet. Zudem wird durch die Kenntnis des Scheitelpunktes auch das Zeichnen selbst leichter. In dieser Hinsicht ist es also von Vorteil, eine in Standardform gegebene quadratische Funktion zunächst in Scheitelpunktform zu bringen. Da dies in der Regel aber einige Zeit kostet, ist es oft schneller, nach Anleitung 6.7.1 vorzugehen - vorausgesetzt man wählt auf Anhieb eine sinnvolle Wertetabelle.

6.7.3 Tipps (zum Finden des Scheitelpunktes). Der Graph einer quadratischen Funktion ist symmetrisch zu der Parallelen zur y-Achse, die durch den Scheitelpunkt verläuft.

Dies können wir uns zu Nutze machen. Haben wir in der Wertetabelle zwei gleiche Funktionswerte an unterschiedlichen Stellen x₁ und x₂, so liegt die x-Koordinate des Scheitelpunktes genau in der Mitte von x₁ und x₂.

Betrachten wir beispielsweise wieder die Funktion

und gehen davon aus, dass wir folgende Funktionswerte schon berechnet haben: Da f(x₁) = 1 = f(x₂) gilt, also an der Stelle x₁ = 2 und der Stelle x₂ = 4 der gleiche Funktionswert vorliegt, wissen wir, dass genau in der Mitte von x₁ und x₂ die x-Koordinate des Scheitelpunkts liegt. Diese Mitte lässt sich wie folgt berechnen: Da der Funktionswert an dieser Stelle bereits in unserer Wertetabelle enthalten ist, müssen wir die Koordinaten des Scheitelpunktes nur noch ablesen: (3;0,5).

6.7.4 Bemerkung. Unter anderem aus den in Bemerkung 6.7.2 genannten Gründen, lässt sich der Graph einer quadratischen Funktion f am einfachsten zeichnen, wenn die Scheitelpunktform von f bekannt ist. Wir gehen daher in den nachfolgenden beiden Anleitungen davon aus, dass f in der Form

vorliegt. Falls dies nicht der Fall ist, können wir die in Abschnitt 6.6 vorgestellten Methoden benutzen, um f in diese Form zu bringen.

6.7.5 Anleitung (zum Zeichnen von Graphen quadratischer Funktionen in Scheitelpunktform - kurze Version). Gehen wir nun davon aus, dass wir eine quadratische Funktion

in Scheitelpunktform betrachten. Da der in Anleitung 6.7.1 beschriebene Ansatz für jede beliebige quadratische Funktion funktioniert, können wir diesen auch hier benutzen. Das heißt,

• wir legen eine Wertetabelle an,
• tragen die dazu korrespondierenden Punkte des Graphen in ein Koordinatensystem ein und
• verbinden diese durch eine Kurve, die in etwa so aussieht als sei sie eine Parabel.

Der Unterschied besteht nun darin, dass wir die Koordinaten des Scheitelpunkts direkt aus der vorliegenden Funktionsvorschrift ablesen können. Der Scheitelpunkt der zu zeichnenden Parabel ist nämlich (s,t). Dieses Wissen können wir nutzen, um die Wertetabelle sinnvoll anzulegen. Genauer gesagt, werden wir

• den Scheitelpunkt mit in die Wertetabelle aufnehmen und
• alle Stellen, an denen wir weitere Funktionswerte berechnen, sinnvoll um die x-Koordinate des Scheitelpunktes verteilen.

Wir machen dies an einem konkreten Beispiel deutlich. Dazu betrachten wir die Funktion

Wir beginnen unsere Wertetabelle mit den Koordinaten des Scheitelpunktes. Die restlichen Stellen platzieren wir wie folgt: Kleine Anmerkung an diesem Punkt: Die Abstände zwischen den gewählten Stellen sind zu beiden Seiten des Scheitelpunktes jeweils gleich, damit wir die Symmetrie des Graphen ausnutzen können (vergleiche Tipps 6.7.7). Zudem sind die Abstände groß genug, dass wir nicht unnötig viele Funktionswerte berechnen müssen, und klein genug, dass der Verlauf des Graphen hinreichend genau erkennbar ist (vergleiche Tipps 6.7.8).

Wir vervollständigen nun unsere Wertetabelle, indem wir die Funktionswerte an den jeweiligen Stellen berechnen.

Anschließend zeichnen wir die entsprechenden Punkte des Graphen in ein Koordinatensystem.

Zuletzt verbinden wir diese Punkte durch eine Parabel. Anders ausgedrückt, skizzieren wir nun den Graphen der Funktion f.

6.7.6 Anleitung (zum Zeichnen von Graphen quadratischer Funktionen in Scheitelpunktform - lange Version). Nachdem wir in Anleitung 6.7.5 einfach nur die Vorgehensweise angepasst haben, die wir schon aus Anleitung 6.7.1 kennen, wollen wir nun eine Methode entwickeln, die die Vorteile der Scheitelpunktform stärker ausnutzt. Die Idee dabei ist folgende: Wir zeichnen nicht direkt den Graphen der Funktion

sondern vielmehr den um s in x-Richtung und t in y-Richtung verschobenen Graphen von Das vereinfacht die notwendigen Rechnungen beim Erstellen einer Wertetabelle, sodass man weniger Tipparbeit am Taschenrechner bzw. weniger Denkarbeit beim Kopfrechnen hat.

Wir bauen das genaue Vorgehen nun Schritt für Schritt auf. Zunächst zeigen wir, wie man die Normalparabel zeichnen kann, dann wie man den Graphen einer Funktion der Form ℝ → ℝ, x↦r ⋅ x² zeichnet und zuletzt kümmern wir uns um quadratische Funktionen in Scheitelpunktform.

Schritt 1: f(x) = x². Um die Normalparabel, also den Graphen der Funktion ℝ → ℝ, x↦x², zu zeichnen , legen wir eine Wertetabelle an. Wir wählen hier

Was man beim Anlegen einer solchen Tabelle beachten sollte, besprechen wir in den Tipps 6.7.7 und 6.7.8. Von der Wertetabelle können wir neun Punkte ablesen, die auf dem zu zeichnenden Graphen liegen: (−2;4), (−1,5;2,25), (−1;1), (−0,5;0,25), (0;0), (0,5;0,25), (1;1), (1,5;2,25) und (2;4). Anhand dieser Punkte können wir später erkennen, wie der Graph ungefähr verläuft. Dazu müssen wir sie aber zuerst in ein Koordinatensystem einzeichnen. Der Punkt (−2;4) ist vom Nullpunkt (0,0) genau −2 in x-Richtung und 4 in y-Richtung entfernt. Um zum Punkt (−2;4) zu gelangen, gehen wir von (0;0) aus 2 nach links und dann 4 nach oben.

Ebenso verfahren wir mit dem Punkt (−1,5;2,25): Von (0,0) aus gehen wir 1,5 nach links und 2,25 nach oben.

Mit den restlichen sieben Punkte verfahren wir genauso und erhalten schließlich folgendes Bild:

Den Graphen zeichnen wir nun, indem wir durch die schon eingezeichneten Punkte des Graphen eine Kurve zeichnen, die ungefähr nach einer Parabel aussieht.

Schritt 2: f(x) = r⋅x². Wollen wir nun den Graphen einer Funktion der Form ℝ → ℝ, x↦r⋅x² zeichnen, so erweitern wir die Wertetabelle wie folgt:

Dann gehen wir genauso vor wie oben. Das heißt wir lesen die Punkte aus der Wertetabelle ab, tragen sie in ein Koordinatensystem ein und zeichnen den Graphen durch die Punkte hindurch. Wir demonstrieren dies an einem konkreten Beispiel. Sei dazu r = −0,5. In diesem Fall ist es von Vorteil andere x-Werte in der Wertetabelle zu betrachten. Wir benutzen hier die folgenden: Diesmal haben wir ausgenutzt, dass x² = (−x)² gilt. Dadurch müssen wir quasi nur halb so viele Funktionswerte ausrechnen. Zunächst zeichnen wir den Punkt (−3;−4,5) in ein Koordinatensystem. Dabei starten wir wieder in (0,0), also im Scheitelpunkt des zu zeichnenden Graphen, und gehen von dort aus −3 in x- und −4,5 in y-Richtung.

Ebenso verfahren wir mit dem Punkt (−2,5;−3,125).

Auch mit den restlichen Punkten verfahren wir so und erhalten schließlich

Nun haben wir genügend Anhaltspunkte um den Graphen zu zeichnen.

Schritt 3: f(x) = r⋅(x−s)² +t. Wir behandeln nun das Zeichnen von Graphen allgemeiner quadratischer Funktionen

in Scheitelpunktform. Dazu betrachten wir das konkrete Beispiel Anstatt nun eine Wertetabelle der Form anzulegen, benutzen wir wieder die Tabelle die wir oben schon angelegt haben. Dabei machen wir uns zu Nutze, dass die Parameter s und t in der Scheitelpunktform lediglich die Position des Graphen beeinflussen, nicht aber seine Form. Wenn wir dieses Mal die Punkte in ein Koordinatensystem einzeichnen, gehen wir genauso vor wie oben, nur starten wir dabei nicht in (0,0) sondern im Scheitelpunkt (s,t) des Graphen, in unserem Beispiel also (1,2). Erst tragen wir wieder das Tabellenpaar (−3;−4,5) ab.

Dann das Paar (−2,5;−3,125).

So fahren wir wieder fort, bis wir schließlich folgendes Bild erhalten:

Nun haben wir genügend Informationen, um den Graphen ordentlich zu zeichnen.

6.7.7 Tipps (zum Benutzen von Wertetabellen, Teil 1). In der Regel ist es sinnvoll bei der Wahl der x-Werte, die Tatsache auszunutzen, dass beim Quadrieren ein eventuell vorhandenes Vorzeichen wegfällt. So ist beispielsweise der Funktion

das Vorzeichen der eingesetzten Zahl vollkommen egal. Genauer gesagt gilt f(x) = f(−x). Das bedeutet, dass wir für (fast) jeden Funktionswert, den wir berechnen, einen weiteren gratis dazu erhalten. Berechnen wir beispielsweise f(1) = 2⋅1² = 2, so wissen wir auch schon, dass f(−1) = 2 gilt. Diesen Sachverhalt können wir nutzen, um den Aufwand des Anlegens einer Wertetabelle drastisch zu senken. Zum Einen müssen wir quasi nur halb so viele Funktionswerte tatsächlich berechnen. Zum Anderen können wir uns einige Schreibarbeit sparen.

Nehmen wir etwa an wir wollen eine Wertetabelle anlegen, die die Funktionswerte an den Stellen −2, −1,5, ... , 2 aufzeigt, also eine Tabelle der Form

Wir brauchen dann nur fünf der neun aufgezeigten Funktionswerte tatsächlich zu berechnen. Die restlichen vier erhalten wir geschenkt. Zudem können wir die Tabelle komprimieren, indem wir die gleichen Funktionswerte zusammenfassen. In Anleitung 6.7.6 sind wir bereits so vorgegangen.

Diese Idee ist bei der Funktion f relativ einfach nachvollziehbar, da ihr Scheitelpunkt auf der y-Achse liegt und ihr Graph dadurch symmetrisch zur y-Achse ist.

Wir zeigen nun noch, wie man dieses Vorgehen auf den allgemeinen Fall anpassen kann. Dazu betrachten wir die Funktion

deren Scheitelpunkt um 3 nach rechts verschoben ist. Der Graph von g ist dadurch nicht mehr symmetrisch zur y-Achse, sondern zu einer Parallelen an der Stelle x = 3.

Wir sollten daher unsere x-Werte symmetrisch um 3 verteilen und nicht um 0, wie wir es bei f getan haben. So wäre etwa der Ansatz

sinnvoll, da wir hier auch wieder nur fünf der neun zu ermittelnden Funktionswerte tatsächlich berechnen müssen. Die restlichen vier erhalten wir geschenkt. Wir müssen nur die Werte rechts der Stelle x = 3 nach links hinüberspiegeln.

6.7.8 Tipps (zum Benutzen von Wertetabellen, Teil 2). Ihr solltet die Wahl der x-Werte außerdem von der zu erwartenden Form (“Steilheit”) des Graphen und der Skalierung eures Koordinatensystems abhängig machen. Wollt ihr etwa den Graphen der Funktion ℝ → ℝ, x↦5⋅ x² in ein Koordinatensystem mit der Skalierung “1cm = 1 Einheit im Koordinatensystem” zeichnen, so wäre folgende Wertetabelle nicht sehr hilfreich:

Die Funktionswerte ändern sich hier von Spalte zu Spalte sehr deutlich, sodass man zwischen den betrachteten x-Werten einen kleineren Abstand wählen sollte. Zudem müsste das Koordinatensystem 80cm hoch sein, um die von der Wertetabelle gelieferten Punkte des Graphen einzeichnen zu können. Dementsprechend sind die x-Werte zu weit von der 0 entfernt. (Natürlich könnte man diese beiden Probleme auch dadurch beheben, dass man eine sinnvollere Skalierung wählt.)

Für die Funktion ℝ → ℝ, x↦ ⋅x² hingegen, wäre die Wertetabelle

schon sehr hilfreich. Zeichnet man die entsprechenden Punkte in ein Koordinatensystem ein, so lässt sich der Verlauf des Graphen schon gut erahnen.