Zusammenfassung: Einfluss der einzelnen Parameter

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6.5 Zusammenfassung: Einfluss der einzelnen Parameter

Kommen wir nun zu den oben angekündigten Zusammenfassungen unserer Ergebnisse über den Einfluss der Parameter einer quadratischen Funktion auf den Verlauf ihres Graphen.

Betrachten wir Funktionen der Form

ℝ → ℝ, x↦→ ax2+ bx+ c,

so bewirkt eine Veränderung des Parameters b eine diagonale Verschiebung des Graphen. Die genaue Richtung und Weite der Verschiebung hängt sowohl davon ab, wie sehr wir b verändern, als auch davon welchen Wert a hat. Um nicht unnötig zu verwirren, geben wir hierzu keine genaueren Angaben. Zum Bestimmen der genauen Position des Funktionsgraphen benutzen wir die Scheitelpunktform (siehe Zusammenfassung 6.5.2).

In Zusammenfassung 6.5.1 gehen wir daher davon aus, dass für die betrachtete quadratische Funktion b = 0 ist.

6.5.1 Zusammenfassung. Betrachten wir quadratische Funktionen der Form

ℝ → ℝ, x↦→ ax2+ c,

so beeinflusst der Parameter a die Form und Öffnungsrichtung des Funktionsgraphen, der Parameter c beeinflusst die Lage des Funktionsgraphen. Genauer gesagt, hängen der Wert von a und die Form des Graphen wie folgt zusammen:

a = 1	Der Graph hat die Form der Normalparabel.
a > 1	Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel in y-Richtung gestreckt.
0 < a < 1	Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel in y-Richtung gestaucht.
−1 < a < 0	Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel in y-Richtung gestaucht und am Scheitelpunkt nach unten geklappt.
a = −1	Der Graph ist eine nach unten zeigende Normalparabel.
a < −1	Der Graph ist im Vergleich zur Normalparabel in y-Richtung gestreckt und dann am Scheitelpunkt nach unten geklappt.

Wir formulieren dies noch allgemeiner, ohne Bezug auf die Normalparabel zu nehmen, indem wir die Auswirkungen einer Veränderung von a angeben. Dabei kürzen wir “Vorzeichenwechsel” mit “Vzw” ab und meinen mit |a|↑, dass der Betrag von a erhöht wird. Wir schreiben |a|↓, wenn der Betrag von a verringert wird.

|a|↑ ohne Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt.
|a|↓ ohne Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestaucht.
nur Vzw, |a| unverändert: Der Graph wird am Scheitelpunkt nach unten geklappt.
|a|↑ mit Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt und nach unten geklappt.
|a|↓ mit Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestaucht und nach unten geklappt.

Eine Veränderung von c hat die folgenden Auswirkungen:

c ↑ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach oben verschoben.
c ↓ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach unten verschoben.

6.5.2 Zusammenfassung. Nun betrachten wir quadratische Funktionen in Scheitelpunktform

2 ℝ → ℝ, x↦→ r⋅(x − s) + t

Die Parameter s und t bestimmen die Lage des Scheitelpunktes. Genauer gesagt, befindet sich der Scheitelpunkt in (s,t). Eine Veränderung dieser Parameter hat daher folgende Auswirkungen:

s ↑ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach rechts verschoben.
s ↓ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach links verschoben.
t ↑ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach oben verschoben.
t ↓ um ein d ∈ ℝ_≥0: Der Graph wird um d nach unten verschoben.

Eine Veränderung von r hat folgende Auswirkungen:

|r|↑ ohne Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt.
|r|↓ ohne Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestaucht.
nur Vzw, |r| unverändert: Der Graph wird am Scheitelpunkt nach unten geklappt.
|r|↑ mit Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestreckt und am Scheitelpunkt nach unten geklappt.
|r|↓ mit Vzw: Der Graph wird in y-Richtung gestaucht und am Scheitelpunkt nach unten geklappt.

Ein Vergleich zeigt, dass r damit denselben Einfluss hat wie der Parameter a in quadratischen Funktionen der Form ℝ → ℝ, x↦ax² +c. In der Tat ist dies ja ein Spezialfall der Scheitelpunktform, denn wählen wir in

ℝ → ℝ, x↦→ r⋅(x − s)2+ t

r = a, s = 0 und t = c, so erhalten wir

2 ℝ → ℝ, x↦→ ax + c.

6.5.3 Aufgabe. In dem folgenden Koordinatensystem sind drei Parabeln eingezeichnet. Gib jeweils eine quadratische Funktion in Scheitelpunktform an, die diese Parabeln als Graphen haben. Gehe dabei davon aus, dass die r-Werte der Funktionen Elemente der folgenden Menge sind: {1;−2; 137 ;− 232 ;7,2;−0,371}.

6.5.4 Aufgabe. Zeichne die Graphen der folgenden quadratischen Funktionen:

1.: f₁ : ℝ → ℝ, x↦x²
2.: f₂ : ℝ → ℝ, x↦(x−3)²
3.: f₃ : ℝ → ℝ, x↦x² +2
4.: f₄ : ℝ → ℝ, x↦(x−3)² +2
5.: f₅ : ℝ → ℝ, x↦3⋅x²
6.: f₆ : ℝ → ℝ, x↦− ⋅x²
7.: f₇ : ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x+3)² −1
8.: f₈ : ℝ → ℝ, x↦ ⋅(x+1)² −2

Wenn du dir unsicher bist, wie du diese Aufgabe angehen sollst, kannst du in Abschnitt 6.7 Anleitungen mit verschiedenen Vorgehensweisen finden.

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