Losungen zu Kapitel 8: Weitere Anwendungen

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12.4 Lösungen zu Kapitel 8: Weitere Anwendungen

29 Lösung (zu Aufgabe 8.1.4). Es sind jeweils der Scheitelpunkt S und ein weiterer Punkt P des Graphen einer quadratischen Funktion gegeben. Wir sollen jeweils die Funktionsvorschrift der entsprechenden Funktion bestimmen.

Wir erläutert kurz nochmals, wie wir dabei vorgehen: Wir setzen für die zu bestimmende Funktion die Scheitelpunktform

ℝ → ℝ, x↦→ r⋅(x − s)2+ t

an. Da die Parameter s und t mit den Koordinaten des angegebenen Scheitelpunktes S übereinstimmen müssen, können wir die Werte für diese beiden Parameter direkt ablesen. Daraufhin müssen wir nur noch r bestimmen.

Da nach Voraussetzung auch der Punkt P auf dem Graphen liegt, das heißt von der Form (x,f(x) ist, müssen seine Koordinaten die Funktionsgleichung

y = r⋅(x− s)2+ t

erfüllen. Setzen wir also seine Koordinaten ein und lösen die Gleichung nach r auf, so sind wir fertig.

1.: Wir haben den Scheitelpunkt S = (0,0) und einen weiteren Punkt P = (1,4) des Graphen gegeben. Da (s,t) = S = (0,0) gelten muss, erhalten wir unmittelbar, dass s = 0 und t = 0 sind. Die Koordinaten von P müssen also die Funktionsgleichung $y = r⋅(x − 0)2 +0$ erfüllen. Das heißt, die Gleichung $2 4 = r⋅(1 − 0) + 0$ muss erfüllt sein. Nach leichtem Umformen stellt sich heraus, dass die Gleichung im Wesentlichen schon nach r aufgelöst ist: $4 = r⋅(1− 0)2+ 0 = r ⋅12 = r⋅1 = r$ Also ist r = 4. Damit haben wir alle drei Parameter bestimmt und können die Funktion vollständig angeben: $ℝ → ℝ, x↦→ 4 ⋅x2$
2.: Hier haben wir die Punkte S = (0,1) und P = (1,5) gegeben. Da S der Scheitelpunkt des Graphen der zu bestimmenden Funktion $ℝ→ ℝ, x↦→ r⋅(x− s)2 +t$ ist, müssen s = 0 und t = 1 gelten. Da auch der Punkt P = (1,5) auf dem Graphen liegt, muss zudem die Gleichung $2 5 = r⋅(1− s) + t$ erfüllt sein. Setzen wir die ermittelten Werte für s und t ein, so erhalten wir: $2 2 2 5 = r ⋅(1 − s) + t = r ⋅(1 − 0 )+ 1 = r⋅1 + 1 = r+ 1$ Also muss r = 4 gelten. Daher ist $2 ℝ → ℝ, x↦→ 4⋅x + 1$ die gesuchte Funktion.
3.: Nun sind S = (1,0) und P = (2,4) gegeben. Es ergeben sich direkt die Werte s = 1 und t = 0, sodass die gesuchte Funktion von der Form $ℝ → ℝ, x↦→ r⋅(x − 1 )2+ 0$ ist. Wir müssen daher nur noch r bestimmen. Dazu setzen wir den Punkt P = (2,4) in die Funktionsgleichung ein und erhalten $4 = r⋅(2 − 1)2+ 0 = r⋅12 = r$ Also gilt auch hier r = 4. Damit haben wir die Funktion vollständig bestimmt: $2 ℝ → ℝ, x↦→ 4⋅(x− 1)$
4.: Es sind der Scheitelpunkt S = (0,0) und ein weiterer Punkt P = (1,−4) einer Parabel gegeben und wir sollen eine passende Funktionsvorschrift bestimmen. Da der Scheitelpunkt gegeben ist, bestimmen wir die Scheitelpunktform $2 ℝ→ ℝ, x↦→ r⋅(x− s) +t$ der gesuchten Funktion.
Die Parameter s und t lassen sich direkt aus dem Scheitelpunkt ablesen: s = 0 und t = 0. Setzen wir dann den Punkt P = (1,−4) in die Funktionsgleichung
$2 y = r⋅(x − 0) +0$ ein, so erhalten wir den Wert von r: $− 4 = r⋅(1 − 0)2+ 0 = r⋅12 = r⋅1 = r$ Also ist r = −4. Daher ist $2 ℝ → ℝ, x↦→ − 4 ⋅x$ die gesuchte Funktion.
5.: Wir haben den Scheitelpunkt S = (−2,3) und einen weiteren Punkt P = (0,5) des Graphen gegeben. Da (s,t) = S = (−2,3) gelten muss, erhalten wir unmittelbar, dass s = −2 und t = 3 sind. Die Koordinaten von P müssen also die Funktionsgleichung $2 y= r⋅(x− (− 2)) + 3$ erfüllen. Das heißt, die Gleichung $5 = r⋅(0 + 2)2+ 3$ muss erfüllt sein. Nach kurzem Umformen ergibt sich:

Also ist r = . Damit haben wir alle drei Parameter bestimmt und können die Funktion vollständig angeben:
$ℝ → ℝ, x ↦→ 1-⋅(x+ 2)2+ 3 2$
6.: Hier haben wir die Punkte S = (2,−1) und P = (−2,−5) gegeben. Da S der Scheitelpunkt des Graphen der zu bestimmenden Funktion $ℝ→ ℝ, x↦→ r⋅(x− s)2 +t$ ist, müssen s = 2 und t = −1 gelten. Da auch der Punkt P = (−2,−5) auf dem Graphen liegt, muss zudem die Gleichung $2 − 5 = r⋅(− 2 − s) + t$ erfüllt sein. Setzen wir die ermittelten Werte für s und t ein und formen ein wenig um, so erhalten wir:

Also muss r = − gelten. Daher ist
$1 ℝ → ℝ, x ↦→ −--⋅(x − 2)2 − 1 4$ die gesuchte Funktion.
7.: Diesmal sind S = (3,2) und P = gegeben. Es ergeben sich direkt die Werte s = 3 und t = 2, sodass die gesuchte Funktion von der Form $2 ℝ → ℝ, x↦→ r⋅(x − 3 )+ 2$ ist. Wir müssen daher nur noch r bestimmen. Dazu setzen wir den Punkt P = in die Funktionsgleichung ein und lösen die resultierende Gleichung nach r auf:

Also ist r = −8. Damit haben wir die Funktion vollständig bestimmt:
$2 ℝ → ℝ, x↦→ − 8 ⋅(x− 3) + 2$
8.: Zuletzt ist der Scheitelpunkt S = und ein weiterer Punkt P = (−3,−3) des Graphen einer quadratischen Funktion gegeben. Wir bestimmen die Scheitelpunktform $ℝ→ ℝ, x↦→ r⋅(x− s)2 +t$ dieser Funktion anhand der gegebenen Punkte. Der Scheitelpunkt liefert uns unmittelbar die Werte von s und t, nämlich s = − und t = −. Das heißt, die gesuchte Funktion ist von der Form $( ) 3- 2 3- ℝ → ℝ, x ↦→ r⋅ x+ 2 − 4$ Wir können r ermitteln, indem wir den Punkt P = (−3,−3) in die Funktionsgleichung einsetzen und anschließend nach r auflösen:

Demnach ist r = −1 und die gesuchte Funktion lautet
$( )2 ℝ → ℝ, x ↦→ − x+ 3- − 3- 2 4$

30 Lösung (zu Aufgabe 8.1.8). Es sind jeweils drei paarweise voneinander verschiedene Punkte gegeben. Wir sollen je die quadratische Funktion ermitteln, deren Graph alle drei Punkte enthält. Dazu gehen wir vor wie im Lösungsansatz 8.1.6 beschrieben.

Da das Lösen linearer Gleichungssysteme hier nur einen Teil des Ganzen ausmacht, das heißt die eigentliche Aufgabe eine andere ist, werden wir in unseren Lösungen jeweils die kompakte Schreibweise des Eliminationsverfahrens verwenden. Das hilft, die wesentlichen Informationen kompakt darzustellen und ein unnötiges Aufblähen der Lösungen zu vermeiden.

1.

Wir sollen die quadratische Funktion f finden deren Graph die Punkte P = (0,5), Q = (1,2) und R = (3,2) enthält. Dazu setzen wir für f die Form

f : ℝ → ℝ, x↦→ ax2+ bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

2 y= ax + bx+ c

erfüllen. Wir werden die einzigen Parameter a, b und c bestimmen, für die das möglich ist. Dazu setzen wir die drei Punkte nacheinander in die Funktionsgleichung ein und erhalten dadurch die folgenden drei Gleichungen:

2 5 = a ⋅0 + b⋅0 + c 2 = a ⋅12 + b⋅1 + c 2 = a ⋅32 + b⋅3 + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

5 = c 2 = a + b + c 2 = 9a + 3b + c

Wir müssen Werte für die Parameter a, b und c finden, für die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Das heißt, wir müssen das Gleichungssystem

⌊ ⌋ c = 5 | a + b + c = 2 | ⌈ ⌉ 9a + 3b + c = 2

lösen. Das tun wir mit Hilfe des Eliminationsverfahrens:

Also muss f die Parameter a = 1, b = −4 und c = 5 haben. Das heißt,

2 f : ℝ → ℝ, x↦→ x − 4x + 5

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (0,5), Q = (1,2) und R = (3,2) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

2.

Gesucht ist die quadratische Funktion f deren Graph die drei Punkte P = (1,5), Q = (3,5) und R = (4,11) enthält. Wir setzen wieder die Form

2 f : ℝ → ℝ, x↦→ ax + bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

2 y= ax + bx+ c

erfüllen. Setzen wir die drei Punkte nacheinander ein, so erhalten wir drei Gleichungen in den Unbekannten a, b und c:

2 5 = a⋅1 + b⋅1 + c 5 = a⋅32 + b⋅3 + c 11 = a⋅42 + b⋅4 + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

5 = a + b + c 5 = 9a + 3b + c 11 = 16a + 4b + c

Da wir die Parameter a, b und c suchen, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen, besteht unsere Aufgabe nunmehr darin, das Gleichungssystem

⌊ ⌋ a + b + c = 5 |⌈ 9a + 3b + c = 5 |⌉ 16a + 4b + c = 11

zu lösen. Wir verwenden das Eliminationsverfahren:

Also muss f die Parameter a = 2, b = −8 und c = 11 haben. Das heißt,

f : ℝ → ℝ, x ↦→ 2x2 − 8x + 11

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (1,5), Q = (3,5) und R = (4,11) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

3.

Wir sollen die quadratische Funktion f finden deren Graph die Punkte P = (−3,−3), Q = (− 2,− 3)
2

, R = (−1,−1) enthält. Dazu setzen wir für f die Form

2 f : ℝ → ℝ, x↦→ ax + bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

y= ax2 + bx+ c

− 3 = a⋅(− 3)2 + b⋅(− 3) + c 3 2 − 2 = a⋅(− 2) + b⋅(− 2) + c − 1 = a⋅(− 1)2 + b⋅(− 1) + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

− 3 = 9a − 3b + c 3 − 2 = 4a − 2b + c − 1 = a − b + c

Wir müssen Werte für die Parameter a, b und c finden, für die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Das heißt, wir müssen das Gleichungssystem

⌊ ⌋ | 9a − 3b + c = − 3 | || 4a − 2b + c = − 3 || ⌈ 2 ⌉ a − b + c = − 1

lösen. Das tun wir mit Hilfe des Eliminationsverfahrens:

Also muss f die Parameter a = − 1
2 , b = −1 und c = − 3
2 haben. Das heißt,

1 3 f : ℝ → ℝ, x ↦→ −-x2− x − -- 2 2

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (−3,−3), Q = ( 3)
− 2,− 2 , R = (−1,−1) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

4.

Gesucht ist die quadratische Funktion f deren Graph die drei Punkte P = ( )
− 32,9

, Q =

und R = (1,4) enthält. Wir setzen wieder die Form

2 f : ℝ → ℝ, x↦→ ax + bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

2 y= ax + bx+ c

erfüllen. Setzen wir die drei Punkte nacheinander ein, so erhalten wir drei Gleichungen in den Unbekannten a, b und c:

( ) ( ) 9 = a⋅ − 3 2 + b⋅ − 3 + c ( 2)2 2 1 = a⋅ 12 + b⋅ 12 + c 2 4 = a⋅1 + b⋅1 + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

9 = 94a − 32b + c 1 1 1 = 4a + 2b + c 4 = a + b + c

Da wir die Parameter a, b und c suchen, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen, besteht unsere Aufgabe nunmehr darin, das Gleichungssystem

⌊ 9 3 ⌋ | 4a − 2b + c = 9 | | 1a + 1b + c = 1 | ⌈ 4 2 ⌉ a + b + c = 4

zu lösen. Wir verwenden das Eliminationsverfahren:

Also muss f die Parameter a = 4, b = 0 und c = 0 haben. Das heißt,

f : ℝ → ℝ, x↦→ 4x2

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = ( )
− 32,9 , Q = ( )
12,1 und R = (1,4) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

5.

Wir sollen die quadratische Funktion f finden deren Graph die Punkte P = (2,0), Q = (4,1) und R = (6,0) enthält. Dazu setzen wir für f die Form

2 f : ℝ → ℝ, x↦→ ax + bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

2 y= ax + bx+ c

0 = a ⋅22 + b⋅2 + c 1 = a ⋅42 + b⋅4 + c 2 0 = a ⋅6 + b⋅6 + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

0 = 4a + 2b + c 1 = 16a + 4b + c 0 = 36a + 6b + c

Wir müssen Werte für die Parameter a, b und c finden, für die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. Das heißt, wir müssen das Gleichungssystem

⌊ ⌋ | 4a + 2b + c = 0 | || 16a + 4b + c = 1 || ⌈ ⌉ 36a + 6b + c = 0

lösen. Das tun wir mit Hilfe des Eliminationsverfahrens:

Also muss f die Parameter a = − 1
4 , b = 2 und c = −3 haben. Das heißt,

1 2 f : ℝ → ℝ, x↦→ − 4x + 2x− 3

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (2,0), Q = (4,1) und R = (6,0) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

6.

Gesucht ist die quadratische Funktion f deren Graph die drei Punkte P = (1,− 1)
4 4

, Q =

und R =

enthält. Wir setzen wieder die Form

f : ℝ → ℝ, x↦→ ax2+ bx+ c

an. Damit die Punkte auf dem Graphen von f liegen, müssen sie alle die Funktionsgleichung

y= ax2 + bx+ c

erfüllen. Setzen wir die drei Punkte nacheinander ein, so erhalten wir drei Gleichungen in den Unbekannten a, b und c:

1 (1 )2 1 − 4 = a ⋅ 4 + b⋅4 + c 3 (1 )2 1 − 8 = a ⋅ 2 + b⋅2 + c ( )2 − 34 = a ⋅ 34 + b⋅ 34 + c

Nachdem wir die Terme vereinfacht haben, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

− 14 = 116a + 14b + c 3 1 1 − 8 = 4a + 2b + c 3 9- 3 − 4 = 16a + 4b + c

Da wir die Parameter a, b und c suchen, die alle drei Gleichungen gleichzeitig erfüllen, besteht unsere Aufgabe nunmehr darin, das Gleichungssystem

⌊ ⌋ -1a + 1b + c = − 1 || 16 4 4|| || 1 1 3|| | 4a + 2b + c = − 8| ⌈ 9 3 3⌉ 16a + 4b + c = − 4

zu lösen. Um nicht unnötig viel mit Brüchen rechnen zu müssen, multiplizieren wir die drei Gleichungen jeweils mit einer geeigneten Zahl, sodass die Vorfaktoren alle ganzzahlig werden: die erste und dritte Gleichung multiplizieren wir mit 16, die zweite mit 8. Dadurch erhalten wir das Gleichungssystem

⌊ a + 4b + 16c = − 4 ⌋ | | || 2a + 4b + 8c = − 3 || ⌈ ⌉ 9a + 12b + 16c = − 12

Zum Lösen verwenden wir das Eliminationsverfahren:

Also muss f die Parameter a = −2, b = 1 und c = − haben. Das heißt,

3 f : ℝ → ℝ, x ↦→ − 2x2+ x−-- 8

ist die gesuchte Funktion.

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (1 1)
4,− 4 , Q = (1 3)
2,− 8 und R = (3 3)
4,− 4 tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate der Punkte in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass die Punkte alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

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