9.2.7 Definition. Man nennt eine Folge (a_n)_n∈ℕ arithmetisch, wenn die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Das heißt, wenn es eine reelle Zahl d ∈ ℝ gibt mit

für alle n ∈ ℕ. In diesem Fall nennen wir d die Differenz der arithmetischen Folge (a_n)_n∈ℕ.

9.2.8 Bemerkung. Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a ∈ ℝ und Differenz d ∈ ℝ. Dann ergibt sich die Rekursionsvorschrift

Man kann auch eine einfache, direkte Berechnungsvorschrift angeben: Es gilt

für alle n ∈ ℕ. Beide Berechnungsvorschriften machen deutlich, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ durch Angabe des Anfangsgliedes a und der Differenz d eindeutig bestimmt ist.

Da eine arithmetische Folge, sozusagen, eine lineare Funktion mit Definitionsmenge ℕ ist, liegen alle Glieder von (a_n)_n∈ℕ auf einer Geraden mit Steigung d. Dies werden wir anhand einiger konkreter Graphen im nächsten Beispiel veranschaulichen.

9.2.9 Beispiel.

1.

Wir betrachten die arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 1 und Differenz 2. Es gelten also die Rekursionsvorschrift

und die direkte Berechnungsvorschrift

Daraus ergeben sich die ersten zehn Folgenglieder als 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19. In einem Koordinatensystem abgetragen, sieht dies wie folgt aus:

2.

Die durch die Rekursionsvorschrift

definierte Folge (b_n)_n∈ℕ ist die arithmetische Folge mit Anfangsglied 5 und Differenz −3. Die ersten zehn Folgenglieder lauten 5, 2, −1, −4, −7, −10, −13, −16, −19, −22.

3.

Nun betrachten wir die Folge (c_n)_n∈ℕ mit für alle n ∈ ℕ. Die Differenz zwischen zwei aufeinanderfolgenden Gliedern der Folge ist für alle n ∈ ℕ gleich und damit konstant. Also ist (c_n)_n∈ℕ arithmetisch. Genauer gesagt, ist (c_n)_n∈ℕ die arithmetische Folge mit Anfangsglied 0 und Differenz .

Die ersten zehn Folgenglieder lauten

4.

Die durch die Rekursionsvorschrift

definierte Folge (d_n)_n≥−4 startet zwar bei −4, durch Verschieben des Index kommen wir aber auf die Folge (e_n)_n∈ℕ mit der Vorschrift

Die Indexmengen der beiden Folgen (d_n)_n≥−4 und (e_n)_n∈ℕ sind zwar verschieden, die durch sie beschriebenen Zahlenfolgen sind aber exakt dieselben. Beispielsweise lauten die ersten zehn Glieder beider Folgen 35, 28, 21, 14, 7, 0, −7, −14, −21, −28.

9.2.10 Aufgabe.

1.

Betrachte die arithmetischen Folgen

• (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5 und Differenz 3
• (b_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −7 und Differenz 2
• (c_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 0 und Differenz −4
• (d_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 12 und Differenz −

Gib für jede dieser Folgen

• die Rekursionsvorschrift,
• die direkte Berechnungsvorschrift,
• die ersten sieben Folgenglieder und
• das 24. Folgenglied an.

Skizziere jeweils auch den Graphen der Folge.

2.

Gib jeweils eine arithmetische Folge an, deren Glieder

(a)

genau den geraden Zahlen ≥ 2 entsprechen

(b)

genau den ungeraden Zahlen ≥ 5 entsprechen

(c)

alle durch 7 teilbar sind

Gib auch jeweils eine arithmetische Folge an, in der

(d)

alle negativen ganzen Zahlen vorkommen

(e)

alle positiven ganzen Zahlen vorkommen

Gibt es eine arithmetische Folge, in der alle ganzen Zahlen vorkommen? Falls ja, gib eine an. Falls nein, begründe deine Antwort und versuche eine (nicht-arithmetische) Folge zu finden, in der alle ganzen Zahlen vorkommen.

3.

Gibt es eine arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₅ = 13, a₈ = 34 und a₁₀ = 48? Wenn nein, begründe deine Antwort. Wenn ja, ermittele folgende Informationen:

(a)

das Anfangsglied a = a₁

(b)

die Differenz d zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern

(c)

die direkte Berechnungsvorschrift

(d)

die Rekursionsvorschrift

4.

Gibt es eine arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₂ = 5, a₇ = −10 und a₁₀ = −20? Verfahre bei deiner Antwort wie in Teilaufgabe 3.

5.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge. Zeige, dass dann für alle n ≥ 2 gilt. In Worten bedeutet dies: Für n ≥ 2 ist das n-te Folgenglied gleich dem arithmetischen Mittel zwischen vorangehendem und nachfolgendem Folgenglied.