9.2.11 Definition. Man nennt eine Folge (a_n)_n∈ℕ geometrisch, wenn alle ihre Glieder von 0 verschieden sind und der Quotient aus zwei aufeinanderfolgenden Gliedern konstant ist. Das heißt, wenn es eine reelle Zahl q ∈ ℝ∖{0} gibt mit

für alle n ∈ ℕ. In diesem Fall nennen wir q den Quotienten der geometrischen Folge (a_n)_n∈ℕ.

9.2.12 Bemerkung. Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge mit Anfangsglied a ∈ ℝ und Quotient q ∈ ℝ. Dann ergibt sich folgende Rekursionsvorschrift:

Man kann auch eine einfache, direkte Berechnungsvorschrift angeben: es gilt

für alle n ∈ ℕ. Beide Berechnungsvorschriften machen deutlich, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ durch Angabe des Anfangsgliedes a und des Quotienten q eindeutig bestimmt ist.

9.2.13 Beispiel.

1.

Wir betrachten die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 1 und Quotient 3. Es gelten also die Rekursionsvorschrift

und die direkte Berechnungsvorschrift

Daraus ergeben sich die ersten acht Folgenglieder als 1, 3, 9, 27, 81, 243, 729, 2187. Die ersten fünf tragen wir in ein Koordinatensystem ein.

2.

Wir betrachten nun die Folge (b_n)_n≥−4 mit der Berechnungsvorschrift für alle n ≥−4. Ihr Anfangsglied ist durch gegeben. Der Quotient ist für alle n ≥−4 gleich und damit konstant. Also ist (b_n)_n≥−4 eine geometrische Folge mit Anfangsglied und Quotient . Die ersten zehn Folgenglieder lauten Anhand der Wertetabelle skizzieren wir den Graphen der Folge.

3.

Stelle dir vor du hast heute 20000 Euro auf einem Sparkonto, das mit einem jährlichen Zinssatz von 1,5% verzinst wird. Es ist nicht abzusehen, dass du von diesem Konto Geld abhebst oder darauf einzahlst.

Dann erhältst du in einem Jahr Zinsen in Höhe von 20000€⋅0,015 = 300€, die deinem Sparkonto direkt gutgeschrieben werden. Der Gesamtbetrag nach einem Jahr errechnet sich also zu 20000€+300€ = 20300€.

Nach einem weiteren Jahr, also nach insgesamt zwei Jahren, erhältst du erneut Zinsen, nämlich 20300€⋅0,015 = 304,5€. Der neue Kontostand beträgt damit 20300€+304,5€ = 20604,5€.

Dies geht nun immer so weiter. Jedes Jahr erhältst du 1,5% Zinsen auf den jeweils aktuellen Betrag auf deinem Sparkonto. Das heißt, es gilt

Das Ende des n-ten Jahres ist der Beginn des (n+1)-ten Jahres, sodass sich folgende Gleichheit ergibt:

Schreiben wir nun a_n für den Kontostand zu Beginn des n-ten Jahres, so lässt sich die Änderung des Kontostandes mit Hilfe folgender Rekursionsvorschrift modellieren:

Durch eine kleine Umformung ergibt sich

Der Verlauf des Kontostands lässt sich also als geometrische Folge mit Anfangsglied 20000 und Quotient 1,015 darstellen.

Dadurch ergibt sich die direkte Berechnungsvorschrift für den Kontostand zu Beginn des n-ten Jahres.

Die ersten sieben Folgenglieder stellen den Verlauf des Kontostandes innerhalb der ersten sechs Jahre nach Beobachtungsbeginn dar. Die Werte sind jeweils auf einen vollen Cent-Betrag gerundet.

4.

Das Radioaktive Natrium-Isotop 22Na zerfällt, unter Aussenden von β-Strahlen, nach und nach in Isotope anderer Elemente. So zerfallen innerhalb von je einem Jahr ungefähr 23,4% der noch vorhandenen Natrium-Atome.

Zu Beobachtungsbeginn enthält ein von uns hergestelltes Präparat 100g des oben genannten Natrium-Isotops 22Na. Nach einem Jahr sind 23,4% von diesen 100g zerfallen, das heißt es sind noch

Natrium übrig. Nach einem weiteren Jahr sind wiederum 23,4% der noch vorhandenen 76,6g zerfallen, sodass noch also ungefähr 58,7g übrig sind.

Wir wollen den radioaktiven Zerfall des Natriums im betrachteten Präparat nun mit Hilfe einer Folge modellieren. Als Wert sollen die Folgenglieder die Masse (in Gramm) des jeweils noch übrigen Natriums haben. Der Beobachtungsbeginn soll in n = 0 sein. Wir interessieren uns für die Werte nach jeweils einem Jahr, sodass wir durch n die seit Beobachtungsbeginn vergangene Zeit in Jahren darstellen wollen. Damit eignet sich die rekursiv definierte Folge (a_n)_n≥0 mit

Bevor wir fortfahren, wollen wir die Rekursionsvorschrift noch etwas umformen.

Die Folge (a_n)_n≥0 ist also geometrisch mit Anfangsglied 100 und Quotient 0,766. Die Masse des noch übrigen Natriums würde sich in den ersten zehn Jahren also wie folgt entwickeln:

Die meisten dieser Werte sind gerundet. Wir stellen den Verlauf graphisch dar.

9.2.14 Aufgabe.

1.

Betrachte die geometrischen Folgen

• (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 1 und Quotient 2
• (b_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 2 und Quotient −1
• (c_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5000 und Quotient
• (d_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 48 und Quotient 0,5
• (e_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied und Quotient −

Gib für jede dieser Folgen

• die Rekursionsvorschrift,
• die direkte Berechnungsvorschrift,
• die ersten acht Folgenglieder und
• das zwölfte Folgenglied an.

Fällt dir ein Zusammenhang zwischen den Gliedern der Folgen (a_n) und (c_n) auf? Wenn ja, versuche diesen in Form einer für fast alle n ∈ ℕ geltenden Gleichung zu Papier zu bringen.

2.

Gibt es eine geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₂ = 15, a₄ = 135 und a₅ = 405? Wenn nein, begründe deine Antwort. Wenn ja, ermittele folgende Informationen:

(a)

das Anfangsglied a = a₁

(b)

den Quotienten q zwischen zwei aufeinanderfolgenden Folgengliedern

(c)

die direkte Berechnungsvorschrift

(d)

die Rekursionsvorschrift

3.

Gibt es eine geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₃ = 5, a₆ = −40 und a₈ = −360? Verfahre bei deiner Antwort wie in Teilaufgabe 2.

4.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge, deren Glieder alle positiv sind. Zeige, dass dann für alle n ≥ 2 gilt. In Worten bedeutet dies: Für n ≥ 2 ist das n-te Folgenglied gleich dem geometrischen Mittel zwischen vorangehendem und nachfolgendem Folgenglied.

5.

Wenn du heute bei Bank A einen Betrag von 10000 Euro, mit einem jährlichen Zinssatz von 3%, für einen Zeitraum von 5 Jahren fest anlegst, wie viel Geld erhältst du dann, wenn die Anlage ausbezahlt wird?

Du erkundigst dich über weitere Anlagemöglichkeiten. Dabei erhältst du folgende Angebote:

• Bank B bietet dir bei gleichem Anlagebetrag und Anlagezeitraum einen monatlichen Zinssatz von 0,25%.
• Bank C bietet dir, ebenfalls bei gleichem Anlagebetrag und Anlagezeitraum, einen täglichen Zinssatz von 0,0095%.

Für welche der drei Banken würdest du dich entscheiden? Begründe deine Antwort. Bei deinen Berechnungen kannst du zur Vereinfachung davon ausgehen, dass auch Schaltjahre 365 Tage haben.

6.

Ein von uns hergestelltes Präparat enthält 3g des Cobalt-Isotops 57Co. Innerhalb von je 30 Tagen zerfallen ungefähr 7,365% der noch vorhandenen 57Co-Atome.

Wir wollen diesen Zerfall nun mit Hilfe einer Folge modellieren. Der Beobachtungsbeginn soll dabei in n = 0 liegen. Der zeitliche Abstand zwischen zwei Werten soll jeweils 30 Tage betragen.

(a)

Gib eine passende Folge an.

(b)

Berechne die ersten fünf Folgenglieder.

(c)

Wie viel Gramm des Cobalt-Isotops 57Co befinden sich nach (ungefähr) einem Jahr noch in dem betrachteten Präparat?