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10.4.2 Weitere Sätze

10.4.4 Satz (Zwischenwertsatz). Es seien a,b ∈ ℝ reelle Zahlen mit a < b. Ist f : [a,b] → ℝ eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b], so nimmt f jeden Wert zwischen f(a) und f(b) an.

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Beweis. Ist f(a) = f(b), so ist nichts zu zeigen. Andernfalls können wir ohne Beschränkung der Allgemeinheit annehmen, dass f(a) < f(b) gilt.

Sei nun c eine reelle Zahl zwischen f(a) und f(b). Das heißt, es gilt f(a) < c < f(b). Betrachten wir dann die Funktion

g: [a,b]→ ℝ, x↦→ f(x)− c
so erhalten wir
g(a) = f(a)− c< 0 < f(b)− c= g(c)
Da f nach Voraussetzung stetig ist, muss auch g stetig sein. Wir können also den Nullstellensatz 10.4.1 auf g anwenden. Dadurch erhalten wir, dass es ein x ∈]a,b[ mit g(x) = 0 geben muss. Das ist aber gleichbedeutend damit, dass es ein x ∈]a,b[ gibt mit f(x) = c.

10.4.5 Satz (Satz vom Maximum und Minimum). Es seien a,b ∈ ℝ reelle Zahlen mit a < b. Ist f : [a,b] → ℝ eine stetige Funktion auf dem abgeschlossenen Intervall [a,b], so ist f beschränkt und nimmt Maximum und Minimum an. Das heißt, es gibt c1,c2 ∈ [a,b], so dass für alle x ∈ [a,b] gilt:

f(c1) ≤ f(x)≤ f(c2)

10.4.6 Satz. Es sei f : D → ℝ eine stetige Funktion. Zudem seien a,b ∈ ℝ reelle Zahlen mit a < b, so dass [a,b] ⊆ D. Dann ist das Bild f([a,b]) des abgeschlossenen Intervalls [a,b] unter f ebenfalls ein abgeschlossenes Intervall.

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