8 Lösung (zu Aufgabe 5.6.7).

1.

Zu lösen ist das Gleichungssystem Da der Vorfaktor von x in beiden Gleichungen 1 ist, können wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen, um x zu eliminieren: Das Resultat können wir weiter vereinfachen, indem wir die Gleichung durch 4 teilen. Wir erhalten dadurch die Gleichung y = 0. Diese benutzen wir um die erste Gleichung des Systems zu ersetzen. Das umgeformte Gleichungssystem sieht dann wie folgt aus: Da der Vorfaktor von y in der einen Gleichung gleich 1 und in der anderen gleich −1 ist, können wir die beiden Gleichungen addieren um y zu eliminieren: Nun ersetzen wir die Gleichung x−y = 0 im System durch x = 0 und erhalten Aus dieser Form des Gleichungssystems kann man die eindeutige Lösung direkt ablesen: (0,0).

Wir können alle vorgenommen Umformungen auch in kompakter Form darstellen:

2.

Zu lösen ist das Gleichungssystem Hier stimmen keine der Vorfaktoren von x und keine derer von y betragsmäßig überein, sodass wir diese erst angleichen müssen, bevor wir durch Addieren beziehungsweise Subtrahieren eine Variable eliminieren können. Wir multiplizieren die erste Gleichung mit 2:

Nun stimmen die Vorfaktoren von y in beiden Gleichungen überein, sodass wir durch Subtraktion die Variable y eliminieren können:

Die resultierende Gleichung können wir noch vereinfachen, indem wir sie durch 3 teilen. Dadurch erhalten wir die Gleichung x = 1. Diese benutzen wir, um die erste Gleichung des Gleichungssystems zu ersetzen. Das umgeformte System sieht dann wie folgt aus: Der Vorfaktor von x ist in beiden Gleichungen 1. Also eliminieren wir wieder durch Subtraktion: Nachdem wir noch durch 2 dividiert haben, erhalten wir die Gleichung y = −1. Ersetzen wir dann die zweite Gleichung unseres schon umgeformten Systems, so können wir die Lösung wieder einfach ablesen: Die Lösung des Gleichungssystems ist also (1,−1).

Wir schreiben die gemachten Umformungen auch hier zusätzlich in kompakter Form auf:

3.

Zu lösen ist das Gleichungssystem Hier stimmen die Vorfaktoren von x in beiden Gleichungen überein, sodass wir ohne vorherige Umformung die zweite Gleichung von der Ersten abziehen können, um x zu eliminieren: Das Ergebnis können wir noch vereinfachen, indem wir durch 6 teilen. Dadurch erhalten wir die Gleichung y = 1. Diese benutzen wir, um die erste Gleichung des Systems zu ersetzen. Damit stehen wir nun bei dem umgeformten Gleichungssystem Um die Vorfaktoren von y anzugleichen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit 2 und addieren dann die beiden Gleichungen: Die sich ergebende Gleichung 3x = 6 können wir noch durch 3 teilen und erhalten x = 2. Diese Gleichung benutzen wir, um die zweite Gleichung des Gleichungssystems zu ersetzen: Die Lösung des Systems lässt sich nun einfach ablesen: (2,1).

In kompakter Form sieht das Ganze wie folgt aus:

4.

Nun ist das Gleichungssystem zu lösen. Zuerst eliminieren wir x, indem wir das Dreifache der ersten Gleichung von der zweiten Gleichung abziehen: Die resultierende Gleichung benutzen wir, um die zweite Gleichung des Gleichungssystems zu ersetzen. Dadurch stehen wir nun bei folgendem System: Um die Vorfaktoren von y anzugleichen, multiplizieren wir die erste Gleichung mit 2: Nun können wir die zweite Gleichung von der ersten abziehen, um y zu eliminieren: Ersetzen wir nun die erste Gleichung des umgeformten Systems, so stehen wir bei diesem Gleichungssystem: Dieses lässt sich nun leicht lösen, indem wir beide Gleichungen durch 2 teilen. Dadurch ergibt sich die Lösung als .

In kompakter Form kann man diese Umformungen wie folgt aufschreiben:

5.

Hier ist das Gleichungssystem zu lösen. Da die Vorfaktoren von y bis auf Vorzeichen übereinstimmen, können wir die beiden Gleichungen addieren, um y zu eliminieren: Die so erhaltene Gleichung können wir noch vereinfachen, indem wir sie mit 2 multiplizieren. Dadurch ergibt sich −x = 5. Wir benutzen diese Gleichung nun, um die erste Gleichung des Systems zu ersetzen: Nun stimmen die Vorfaktoren von x bis auf Vorzeichen überein, sodass wir die beiden Gleichungen addieren könne, um y zu eliminieren. Multiplizieren wir das Ergebnis wieder mit 2, so ergibt sich die Gleichung −y = 11, die wir benutzen um die zweite Gleichung des umgeformten Gleichungssystems zu ersetzen. Das so erhaltene Gleichungssystem lässt sich leicht lösen, indem wir beide Gleichungen mit −1 multiplizieren. Die Lösung ist (−5,−11).

Wie gehabt, hier noch die zugehörige kompakte Schreibweise:

6.

Zuletzt lösen wir das Gleichungssystem Zunächst multiplizieren wir die zweite Gleichung mit 4, um die Vorfaktoren von y anzugleichen. Damit stehen wir bei folgendem Gleichungssystem: Nun ziehen wir die erste Gleichung von der zweiten ab: Dividieren wir das Resultat durch 3,48, so erhalten wir x = 1. Diese Gleichung benutzen wir um die zweite Gleichung des Systems zu ersetzen: Wir formen nun die erste Gleichung so um, dass alle Vorfaktoren ganzzahlig sind. Am Einfachsten geht das in diesem Fall, indem wir die Gleichung mit 100 multiplizieren. Wir stehen dann bei folgendem Gleichungssystem: Ziehen wir nun das Zwölffache der zweiten Gleichung von der ersten ab, so erhalten wir Zuletzt dividieren wir das Ergebnis noch durch 4 und benutzen es dann um die erste Gleichung des umgeformten Gleichungssystems zu ersetzen. In dem resultierenden Gleichungssystem lässt sich die Lösung wieder einfach ablesen: (1,22).

Auch hier geben wir zusätzlich die kompakte Schreibweise an:

9 Lösung (zu Aufgabe 5.6.8). In dieser Aufgabe geht es darum, dass du ein wenig herumprobierst und versuchst, ein Gefühl für die Lösungswege zu bekommen, die für dich am einfachsten sind. Hier gibt es also keine Musterlösung. Wenn du nach Ideen sucht, wie du möglichst einfach zum Ziel kommst, kannst du dir die Tipps 5.6.6 anschauen. Vielleicht hilft dir auch die Lösung zu Aufgabe 5.6.7 weiter: dort haben wir versucht, möglichst einfache Lösungswege zu gehen.