10 Lösung (zu Aufgabe 5.7.4). Wir wiederholen das allgemeine Vorgehen beim grafischen Lösungsverfahren: um die Lösungsgeraden zeichnen zu können, bestimmen wir von jeder Gleichung je zwei Lösungen (das heißt, zwei Punkte auf der Lösungsgeraden). Diese beiden Punkte tragen wir in ein Koordinatensystem ein und zeichnen dann eine Gerade die durch beide Punkte geht. Haben wir dies für alle Gleichungen des Systems durchgeführt, so können wir die Lösungen des Gleichungssystems anhand der Schnittpunkte der Geraden ablesen.

1.

Zuerst sollen wir das Gleichungssystem lösen. Dazu bestimmen wir je zwei Lösungen der einzelnen Gleichungen, indem wir gewisse Werte für x beziehungsweise y einsetzen.

Zunächst setzen wir in der ersten Gleichung x = 0 und erhalten, dass dann auch y = 0 gelten muss. Daher ist (0,0) eine Lösung der ersten Gleichung. Dann setzen wir y = 1 ein und erhalten durch auflösen nach x, dass dann x = −3 gelten muss. Also ist (−3,1) eine weitere Lösung der ersten Gleichung.

Wir verfahren bei der zweiten Gleichung ähnlich und erhalten, dass (0,0) und (1,1) zwei Lösungen der zweiten Gleichung sind.

Nun zeichnen wir mit Hilfe dieser Lösungen die beiden Lösungsgeraden in ein Koordinatensystem ein:

Wir sehen, dass (0,0) die einzige Lösung des Gleichungssystems ist. Insbesondere ist (0,0) die einzige Lösung deren x- und y-Werte zwischen −5 und 5 liegen.

2.

Nun lösen wir das Gleichungssystem Dazu bestimmen wir wieder je zwei Punkte auf den Lösungsgeraden:

Durch Einsetzen von x = 0 in die erste Gleichung erhalten wir den Punkt (0,1) und durch Einsetzen von y = 0 erhalten wir (,0).

Das Gleiche tun wir bei Gleichung zwei und erhalten die Punkte (0,−) und (−1,0).

Jetzt können wir die Lösungsgeraden in ein Koordinatensystem einzeichnen:

Wir können die Lösung anhand des Schnittpunktes ablesen: (1,1) ist die einzige Lösung des Gleichungssystems.

3.

Auch bei dem Gleichungssystem setzen wir jeweils x = 0 und y = 0 ein, um Punkte auf den Lösungsgeraden zu bestimmen. In diesem Fall erhalten wir bei beiden Gleichungen die Punkte (0,−3) und (2,0). Das heißt, dass die beiden Lösungsgeraden übereinstimmen. Im zugehörigen Bild sehen wir deshalb nur eine Gerade:

Da die beiden Lösungsgeraden übereinstimmen, hat das Gleichungssystem unendlich viele Lösungen, nämlich alle Punkte auf der Lösungsgeraden.

4.

Beim Gleichungssystem können wir auch wieder x = 0 beziehungsweise y = 0 setzen, um je zwei Punkte auf den Lösungsgeraden zu erhalten. Genauer gesagt erhalten wir dadurch die Punkte (0,3) und für die erste Gleichung und die Punkte (0,1) und für die zweite Gleichung. Zeichnen wir auch diese Geraden in ein Koordinatensystem

so scheinen sie parallel zu verlaufen. In jedem, Fall haben sie keinen Schnittpunkt dessen x- und y-Koordinaten zwischen −5 und 5 liegen, sodass das Gleichungssystem auch keine derartigen Lösungen hat.