21 Lösung (zu Aufgabe 6.6.5). Aufgabe ist es, quadratische Funktionen in Standardform in Scheitelpunktform zu bringen. Wir wiederholen an Teilaufgabe 1 beispielhaft die Argumentation aus Rezept 6.6.4 . Die restlichen Teilaufgaben bearbeiten wir nur mit dem Formelansatz

1.

Wir sollen die in Standardform gegebene quadratische Funktion f₁ :  ℝ → ℝ, x↦x²−6x+ 9 in Scheitelpunktform f₁ :  ℝ → ℝ, x↦r⋅(x−s)²+t bringen. Wir suchen also Parameter r, s und t welche die Gleichung für alle x ∈ ℝ erfüllen. Um die Erscheinungsform der beiden Seiten dieser Gleichung anzugleichen, multiplizieren wir die linke Seite aus: Diese Gleichung ist genau dann für alle x ∈ ℝ erfüllt ist, wenn die Vorfaktoren vor x² und x, sowie die konstanten Terme auf beiden Seiten exakt übereinstimmen. Das heißt, genau dann, wenn die folgenden drei Gleichungen erfüllt sind: Damit ist r direkt eindeutig festgelegt: r = 1. Setzen wir diesen Wert nun in die zweite Gleichung ein, so können wir s ermitteln:

Setzen wir nun die berechneten Werte von r und s in die dritte Gleichung ein, so können wir auch t bestimmen:

Damit haben wir nun alle drei Parameter bestimmt: r = 1, s = 3 und t = 0. Also hat f₁ die folgende Scheitelpunktform

und den Scheitelpunkt (3,0).

Um unser Ergebnis zu überprüfen, machen wir die Probe durch Ausmultiplizieren:

2.

Wir sollen f₂ :  ℝ → ℝ, x↦2x² +4x+5 in Scheitelpunktform bringen. Das heißt wir suchen Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen: Dazu setzen wir zunächst r = 2 in die zweite Gleichung ein:

Dann ersetzen wir r und s in der dritten Gleichung:

Also hat die Scheitelpunktform von f₂ folgende Parameter: r = 2, s = −1 und t = 3. Demnach ist

die Scheitelpunktform von f₂. Der Scheitelpunkt ist (−1,3).

Zur Probe multiplizieren wir wieder aus:

3.

Nun betrachten wir die Funktion f₃ :  ℝ → ℝ, x↦−3x² +30x−64. Wir suchen also Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen: Den r-Wert können wir wie immer direkt ablesen und in die zweite Gleichung einsetzen:

Nun ersetzen wir r und s in der dritten Gleichung:

Also gilt r = −3, s = 5 und t = 11, sodass

die Scheitelpunktform von f₃ und (5,11) der Scheitelpunkt ist.

Nun wieder die Probe:

4.

Nun sollen wir die quadratische Funktion f₄ :  ℝ → ℝ, x↦x² +4x+7 in Scheitelpunktform bringen. Das heißt wir suchen Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen: Den r-Wert lesen wir ab und setzen ihn in die zweite Gleichung ein:

Nun können wir r und s in der dritten Gleichung ersetzen:

Also gilt r = , s = −4 und t = −1, sodass

die Scheitelpunktform von f₄ und (−4,−1) der Scheitelpunkt ist.

Nun wieder die Probe:

5.

Nun betrachten wir f₅ :  ℝ → ℝ, x↦x² −x+2. Wir suchen also Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen: Den r-Wert können wir wie immer direkt ablesen und in die zweite Gleichung einsetzen:

Nun können wir r und s in der dritten Gleichung ersetzen:

Also haben wir die Parameter r = , s = 2 und t = , sodass

die Scheitelpunktform von f₄ und der Scheitelpunkt ist.

Nun wieder die Probe:

6.

Zuletzt sollen wir die quadratische Funktion f₆ :  ℝ → ℝ, x↦0,2⋅x² −0,6⋅x+0,95 auf Scheitelpunktform bringen. Das heißt wir suchen Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen: Den r-Wert können wir wie immer direkt ablesen und in die zweite Gleichung einsetzen:

Oder als Dezimalzahl ausgedrückt: s = 1,5. Nun ersetzen wir r und s in der dritten Gleichung:

Also gilt r = 0,2, s = 1,5 und t = 0,5, sodass

die Scheitelpunktform von f₃ und (5,11) der Scheitelpunkt ist.

Zuletzt noch einmal die Probe:

22 Lösung (zu Aufgabe 6.6.6). In dieser Aufgabe sollen wir in Scheitelpunktform gegebene quadratische Funktionen in Standardform bringen. Dazu müssen wir die gegebenen Funktionsvorschriften lediglich ausmultiplizieren:

1.

Wir bringen f₁ :  ℝ → ℝ, x↦3⋅(x−1)² +1 in Standardform:

Also ist

die Standardform von f₁.

2.

Wir bringen f₂ :  ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x+4)² −1 in Standardform:

Demnach ist

die Standardform von f₂.

3.

Wir bringen f₃ :  ℝ → ℝ, x↦− ⋅(x+1)² −0,2 in Standardform:

Also ist

die Standardform von f₃.

4.

Wir bringen f₄ :  ℝ → ℝ, x↦0,3⋅² + in Standardform:

Demnach ist

die Standardform von f₄.

23 Lösung (zu Aufgabe 6.6.7). Um die Aufgabe zu erfüllen, werden wir die gegebenen Funktionsvorschriften auf Standardform bringen, indem wir zuerst ausmultiplizieren und dann zusammenfassen. Danach verfahren wir wieder wie in Rezept 6.6.4 erläutert, um die Scheitelpunktform herzustellen.

1.

Gegeben ist die quadratische Funktion f₁ :  ℝ → ℝ, x↦3⋅(x−1)⋅(x+1)+3x+2. Wir bringen diese zunächst auf Standardform:

Wir suchen nun Parameter r, s und t welche die folgenden drei Gleichungen erfüllen:

Den r-Wert können wir wie immer direkt ablesen und in die zweite Gleichung einsetzen:

Nun ersetzen wir r und s in der dritten Gleichung:

Also gilt r = 3, s = − und t = −, sodass

die Scheitelpunktform von f₁ ist.

2.

Gegeben ist die quadratische Funktion f₂ :  ℝ → ℝ, x↦ ⋅(3x−12)+4. Wir bringen diese zunächst auf Standardform:

Hier können wir die zweite binomische Formel anwenden um die Scheitelpunktform herzustellen:

Also ist die Scheitelpunktform von f₂.

24 Lösung (zu Aufgabe 6.6.11). Da die Lösung dieser Aufgabe, abgesehen vom Berechnungsweg der Parameter, mit der Lösung von Aufgabe 6.6.5 übereinstimmt, werden wir hier nur das Berechnen der Parameter mit Hilfe der Formel 6.6.9 ausführen.

Wir wiederholen noch kurz die Formel: für eine quadratische Funktion

in Standardform, sind

die Parameter der Scheitelpunktform

1.

Zu f₁ :  ℝ → ℝ, x↦x² −6x+9:

2.

Zu f₂ :  ℝ → ℝ, x↦2x² +4x+5:

3.

Zu f₃ :  ℝ → ℝ, x↦−3x² +30x−64:

4.

Zu f₄ :  ℝ → ℝ, x↦x² +4x+7:

5.

Zu f₅ :  ℝ → ℝ, x↦x² −x+2:

6.

Zu f₆ :  ℝ → ℝ, x↦0,2⋅x² −0,6⋅x+0,95:

25 Lösung (zu Aufgabe 6.6.16). In dieser Aufgabe sollen wir quadratische Funktionen in Scheitelpunktform bringen und dabei die quadratische Ergänzung benutzen. Wir lassen in dieser Lösung die Probe, ob das Ergebnis stimmt sein, da wir diese bereits in der Lösung zu Aufgabe 6.6.5 ausgeführt haben (dort haben wir exakt die gleichen Funktionen in Scheitelpunktform gebracht, nur dass wir dafür andere Lösungsmethoden verwendet haben).

1.

Gegeben ist die Funktion f₁ :  ℝ → ℝ, x↦x² −6x+9. Man kann hier direkt die 2. binomische Formel anwenden:

Der Vollständigkeit halber geben wir auch den Lösungsweg an, der die quadratische Ergänzung benutzt:

2.

Gegeben ist die Funktion f₂ :  ℝ → ℝ, x↦2x² +4x+5. Wir formen diese wie folgt um:

3.

Nun formen wir die Funktion f₃ :  ℝ → ℝ, x↦−3x² +30x−64  um:

4.

Jetzt kümmern wir uns um die Funktion f₄ :  ℝ → ℝ, x↦x² +4x+7:

5.

Jetzt formen wir die Funktion f₅ :  ℝ → ℝ, x↦x² −x+2 um:

6.

Zuletzt bringen wir die Funktion f₆ :  ℝ → ℝ, x↦0,2⋅x² −0,6⋅x+0,95  auf Scheitelpunktform: