Riemann-Summen können genutzt werden, um die Fläche anzunähern, die ein Funktionsgraph mit der \(x\)-Achse einschließt. Obersummen und Untersummen sind die Beispiele, die man meist auch in der Schule behandelt, sobald man anfängt sich mit Integralrechnung zu beschäftigen.
Du hast hier die Wahl zwischen verschiedenen Beispielfunktionen und verschiedenen Vorgehensweisen, um den Flächeninhalt der gewählten Funktion über einem geschlossenen Intervall \( [a, b] \) anzunähern. Genauere Informationen findest du weiter unten.
Vorzeichen miteinbeziehen
Etwaige Fehlermeldungen werden hier angezeigt.
| Funktion | Art der Annäherung | Vorzeichen einbezogen | Intervall | \( n \) | Integral | Riemann-Summe | Abweichung absolut | Abweichung relativ |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Nähere Informationen dazu, wie die Daten zu verstehen sind, findest du weiter unten.
Durch Klicken auf "speichern" kannst du die gerade in der ersten Zeile angezeigten Daten speichern.
Hier kannst du Datensätze erzeugen, indem du die Anzahl \( n \) der Teilintervalle schrittweise variierst oder alle wählbaren Annäherungsverfahren durchläufst. Dabei bleiben jeweils alle anderen einstellbaren Parameter unverändert.
Die erzeugten Daten werden in der Liste unter "Datenübersicht" (siehe oben) angezeigt.
\( n \) variieren:
Die per Schieberegler veränderbaren Parameter \( a \) und \( b \) stellen die linke bzw. rechte Intervallgrenze dar. Das Intervall wird von der Webanwendung in \(n\) gleich große Stücke unterteilt. Das heißt, der Parameter \( n \) entspricht der Anzahl der verwendeten Teilintervalle. Die Annäherungsverfahren "Obersumme", "Untersumme" usw., bestimmen, welcher Funktionswert auf dem jeweiligen Teilintervall benutzt wird.
Beispielsweise könnten wir das Intervall \( [1,5] \) in vier gleich große Stücke unterteilen,
nämlich \( [1,2], [2,3], [3,4] \) und \( [4,5] \). Die Rechtecke hätten dann alle eine Breite von 1.
Als Höhe des jeweiligen Rechtecks, könnten wir auf jedem der vier Teilintervalle
den größten Funktionswert verwenden.
Um dieses Beispiel in der obigen Zeichnung auszuprobieren, setze \( n = 4, \) \( a = 1 \) und \( b = 5 \).
Als Art der Annäherung, wähle "Obersumme". Um diese Parameter automatisch setzen zu lassen,
klicke hier.
Zudem besteht die Möglichkeit, dass "Vorzeichen miteinzubeziehen" oder eben nicht mit einzubeziehen.
Wird das Vorzeichen miteinbezogen, so wird jeweils der normale Funktionswert zur Berechnung genutzt.
Wird das Vorzeichen nicht miteinbezogen, so wird immer der Betrag des Funktionswertes benutzt, das heißt
das Vorzeichen des Funktionswertes wird ignoriert.
Das hat folgende Bewandtnis: wird jeweils der Betrag verwendet, das heißt, das Vorzeichen nicht in die
Berechnungen miteinbezogen, so erhält man die Summe der tatsächlichen Flächeninhalte der Rechtecke.
Bezieht man das Vorzeichen jedoch mit ein, so sind auch die Flächeninhalte der Rechtecke mit Vorzeichen behaftet.
Das bedeutet, dass man am Ende die Differenz zwischen "positiven Flächeninhalten" und "negativen Flächeninhalten"
erhält.
Als Beispiel könntest du die Polynomfunktion vom Grad 3 und das Näherungsverfahren "Mitte" auswählen.
Setzt du dann \( n = 6, \) \( a = -5 \) und \( b = 1{,}4 \) und beziehst das Vorzeichen mit ein,
so ist das Resultat nahe an 0, weil die Vorzeichenbehafteten Flächen ungefähr gleich groß sind.
Beziehst du das Vorzeichen jedoch nicht mit ein, so erhältst du die eigentliche Fläche.
Die Parameter für dieses Beispiel kannst du dir auch wieder automatisch einstellen lassen, indem du
hier klickst.
Die Webanwendung zerlegt das betrachtete Intervall \( [a,b] \) in \(n\) gleich große Teilintervalle. Das heißt, es wird immer eine äquidistante Zerlegung verwendet. Die nachfolgende Tabelle gibt Auskunft darüber, wie die zur Berechnung der Annäherung verwendeten Höhen der Rechtecke festgelegt werden. Anders ausgedrückt, wird beschrieben, welcher Funktionswert in den Teilintervallen zur Berechnung benutzt wird.
| Verfahren | Beschreibung |
|---|---|
| Obersumme | Es wird immer der größte Funktionswert auf dem jeweiligen Teilintervall verwendet. |
| Untersumme | Es wird immer der kleinste Funktionswert auf dem jeweiligen Teilintervall verwendet. |
| Linker Rand | Es wird immer der Funktionswert im linken Rand des jeweiligen Teilintervalls verwendet. |
| Rechter Rand | Es wird immer der Funktionswert im rechten Rand des jeweiligen Teilintervalls verwendet. |
| Mitte | Es wird immer der Funktionswert in der Mitte des jeweiligen Teilintervalls verwendet. |
| zufällig | Es wird eine zufällige Stelle innerhalb des jeweiligen Teilintervalls verwendet. |
| Simpson | Es wird ein gewichteter Mittelwert aus den Funktionswerten im linken und im rechten Intervallrand, sowie in der Mitte des Intervalls verwendet. |
| trapezoidal | Hier wird die Fläche nicht durch Rechtecke angenähert, sondern durch Trapeze. Dabei werden die Funktionswerte in den Rändern des jeweiligen Teilintervalls verwendet, um die Längen der zueinander parallelen Seiten des Trapezes festzulegen. |
Wir haben in der Funktionsauswahl jeweils nur den Funktionstyp genannt. Wir wollen an dieser Stelle noch die genauen Funktionsvorschriften angeben, die zum Zeichnen der Graphen und Berechnen der Werte in der Datenübersicht verwendet werden:
| Funktionstyp | Funktionsvorschrift |
|---|---|
| Lineare Funktion | \( x \mapsto x + 1 \) |
| Quadratische Funktion | \( x \mapsto \frac{1}{10} \cdot (x-1)^{2} - 4 \) |
| Polynomfunktion (Grad 3) | \( x \mapsto \frac{1}{8} \cdot x^{3} + \frac{1}{2} \cdot x^{2} - \frac{3}{2} \cdot x - 3 \) |
| Polynomfunktion (Grad 4) | \( x \mapsto \frac{1}{100} \cdot (x+8) \cdot (x+5) \cdot (x-2) \cdot (x-7) \) |
| Polynomfunktion (Grad 5) | \( x \mapsto \frac{1}{700} \cdot (x+8) \cdot (x+5) \cdot x \cdot (x-4) \cdot (x-9.5) + 6 \) |
| Betragsfunktion | \( x \mapsto |x| \) |
| Wurzelfunktion | \( x \mapsto \sqrt{x} \) |
| Exponentialfunktion | \( x \mapsto \left( \frac{3}{2} \right)^{x} \) |
| Logarithmusfunktion | \( x \mapsto \ln(x) \) |
| Sinusfunktion | \( x \mapsto \sin(x) \) |
| Kosinusfunktion | \( x \mapsto \cos(x) \) |
In der Datenübersicht werden alle relevanten Daten zum aktuellen Beispiel angezeigt. Zudem können diese Daten in einer Liste abgespeichert werden. Dadurch lassen sich die Ergebnisse verschiedener Einstellungen miteinander vergleichen.
Die ersten fünf Punkte listen die von dir gewählten Parameter auf. Die restlichen Daten zeigen das Resultat des Annäherungsverfahrens und vergleichen dies mit einer genaueren Berechnung mittels Integration.
| Name | Beschreibung |
|---|---|
| Funktion | Gibt die Art der Funktion an, die verwendet wurde. |
| Art der Annäherung | Gibt den Namen des verwendeten Annäherungsverfahrens an. |
| Vorzeichen einbezogen | Gibt an, ob die Vorzeichen der relevanten Funktionswerte in die Berechnung miteinbezogen wurden oder nicht. |
| Intervall | Ist das Intervall \( [a,b] \), über dem der Flächeninhalt angenähert wurde. |
| \( n \) | Ist die Anzahl verwendeten Teilintervallen. Also die Anzahl an gleichgroßen Stücken, in die das Intervall \( [a,b] \) unterteilt wurde. |
| Integral | Gibt den Wert des Integrals der betrachteten Funktion über dem Intervall \( [a,b] \) an. Auch hier wird berücksichtigt, ob das Vorzeichen miteinbezogen werden soll oder nicht. |
| Riemann-Summe | Gibt das Resultat des Annäherungsverfahrens an. |
| Abweichung absolut | Gibt die absolute Abweichung des Ergebnisses des Annäherungsverfahrens vom berechneten Integral an. |
| Abweichung relativ | Gibt die Abweichung in Relation zum Betrag des Integrals an. |
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