10.1.12 Definition. Es sei n ≥ 0 eine natürliche Zahl. Zudem seien a₀,...,a_n ∈ ℝ reelle Zahlen. Dann bezeichnet man die Funktion

als eine Polynomfunktion. Die Zahlen a₀,...,a_n heißen Koeffizienten der Polynomfunktion f. Ist a_n≠0, so nennen wir a_n den Leitkoeffizienten von f und n den Grad von f.

10.1.13 Beispiel.

1.

Die Funktion ist eine Polynomfunktion vom Grad 5. Der Leitkoeffizient von f ist 7.

2.

Die Funktion ist eine Polynomfunktion vom Grad 4. Der Leitkoeffizient von g ist 1.

3.

Es seien a,b,c ∈ ℝ reelle Zahlen und a≠0. Dann sind alle Funktionen der Form

• ℝ → ℝ,x↦a (Konstante Funktionen)
• ℝ → ℝ,x↦ax+b (Lineare Funktionen)
• ℝ → ℝ,x↦ax² +bx+c (Quadratische Funktionen)

Polynomfunktionen.

10.1.14 Bemerkung. In Definition 10.1.12 haben wir die Begriffe “Leitkoeffizient” und “Grad” nicht für die konstante Funktion

definiert. Der Vollständigkeit halber kann man 0 als den Leitkoeffizienten und −∞ als den Grad von f definieren. Dabei sind die beiden Werte so gewählt, dass gewisse Eigenschaften von Polynomfunktionen, auch im Falle der konstanten Nullfunktion Gültigkeit besitzen.

10.1.15 Definition. Es seien p und q zwei Polynomfunktionen. Wir definieren D := {x ∈ ℝ∣q(x)≠0}. Dann bezeichnet man die Funktion

als eine rationale Funktion. Man nennt p auch das Zählerpolynom von f und q das Nennerpolynom von f. Den Grad von p nennt man Zählergrad von f, den Grad von q nennt man Nennergrad von f.

10.1.16 Bemerkung. In der Schule ist es üblich, Polynomfunktionen als ganzrationale Funktionen zu bezeichnen. Rationale Funktionen werden dann als gebrochenrationale Funktionen bezeichnet.

10.1.17 Beispiel.

1.

Die Funktion ist eine rationale Funktion mit Zählerpolynom x + 3 und Nennerpolynom x² − 1. Der Zählergrad ist 1, der Nennergrad ist 2.

2.

Die Funktion ist eine rationale Funktion mit Zählerpolynom 7x⁵ +3x² +1 und Nennerpolynom x⁴ + 8x³ +16x². Der Zählergrad ist 5, der Nennergrad ist 4.