Zu Abschnitt 9.3 Monotonie

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13.1.3 Zu Abschnitt 9.3 Monotonie

38 Lösung (zu Aufgabe 9.3.4).

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

a = n ist streng monoton wachsend. n a = n2 ist streng monoton wachsend. n a = √n-- ist streng monoton wachsend. n an = 1- ist streng monoton fallend. n2 an = − n ist streng monoton fallend. -1- an = √n-- ist streng monoton fallend. an = 3n+ 2 ist streng monoton wachsend. an = 4− 5n ist streng monoton fallend. 7 an = 5− -- ist streng monoton wachsend. n an = 2n ist streng monoton wachsend. an = 2−n ist streng monoton fallend. an = (− 2)n ist nicht monoton. an = − 2n ist streng monoton fallend. √ -- an = n 2 ist streng monoton fallend. ( )n an = 2- ist streng monoton fallend. 3

Dabei ist zu beachten: strenge Monotonie impliziert einfache Monotonie gleicher Art und schließt Monotonie der anderen Art aus. Das heißt beispielsweise, dass streng monoton wachsende Folgen auch monoton wachsend sind, aber nicht monoton fallen oder gar streng monoton fallen. Gleiches gilt für streng monoton fallende Folgen.

2.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

(a): a_n = (n−3)² fällt von n = 1 bis n = 3 und wächst streng monoton für ≥ 3, hat aber kein einheitliches Monotonieverhalten und ist deshalb nicht monoton.
(b): a_n = (n+3)² ist streng monoton wachsend.
(c): a_n = ist streng monoton wachsend. Genauer gesagt sind zwar alle Glieder ≤ 1, sie nähern sich aber, mit wachsendem Index, immer weiter der 1. Wir können die Berechnungsvorschrift auch umformen, um dies deutlicher zu sehen: $n n+ 1 − 1 n+ 1 1 1 an = ----- = -------- = -----− ----- = 1− ----- n+ 1 n+ 1 n+ 1 n+ 1 n + 1$
(d): a_n = ist streng monoton fallend. Hier nähern sich die Glieder der 1 von oben. Dies können wir auch wieder durch Umformen der Berechnungsvorschrift verdeutlichen: $n+-1- n- 1- 1- an = n = n + n = 1+ n$
(e): a_n = ist streng monoton wachsend. Formen wir die Berechnungsvorschrift um, so erhalten wir: $n2+ 1 n2+ n − n + 1 n2+ n n− 1 n − 1 an = ------ = ------------ = -----− ----- = n− ----- n + 1 n+ 1 n +1 n+ 1 n +1$ Da 0 ≤ < 1 für alle n ≥ 1, überwiegt der Einfluss von = n auf das Verhalten der Folge.
(f): a_n = ist streng monoton fallend, da für n ≥ 1 gilt: $n+ 1 n+ n 2n n an+1 = 2n+1- < 2n+1- = 2n+1 = 2n = an$

3.

(a): Die Folge (a_n)_n≥0, mit a_n = , ist streng monoton fallend.
(b): Die Glieder der Folge (b_n)_n≥−5, mit b_n = , stimmen für n ≥ 0 mit denen von (a_n)_n≥0 überein. Das heißt, es gilt b_n > b_n+1 für n ≥ 0. Trotzdem ist (b_n)_n≥−5 nicht monoton, da $b−1 = − 1 < 1= b0 > 1-= b1 3$
(c): Die Folge (c_n)_n≥−4, mit c_n = 3−n², ist nicht monoton, da $c−1 = 2> 0 = c0$ aber $c0 = 0 < 2= c1$
(d): Die Folge (d_n)_n≥4, mit d_n = 3−n² ist streng monoton fallend.

4.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit

( |{ n falls n gerade an = |( n + 1 falls n ungerade

ist monoton wachsend, aber nicht streng monoton wachsend (und auch nicht monoton fallend), denn wenn n gerade ist, gilt

an = n < n+ 2= (n + 1)+ 1= an+1

und wenn n ungerade ist, gilt

an = n+ 1= an+1

Das heißt, für alle n ∈ ℕ gilt a_n ≤ a_n+1 (also ist (a_n) monoton wachsend). Für ungerade n besteht Gleichheit (sodass (a_n) nicht streng monoton ist). Für gerade n besteht keine Gleichheit (sodass (a_n) nicht auch monoton fallend sein kann).

Zur Veranschaulichung geben wir noch die ersten zehn Folgenglieder an und skizzieren den Graphen:

|| | | | | | | | | | n--||1-|2-|3-|4-|5-|6-|7-|8-|-9-|10-- an ||2 |2 |4 |4 |6 |6 |8 |8 |10 |10

5.

Da wir uns hier selbst Folgen ausdenken sollen, gibt es keine “feste Musterlösung”. Jede Folge, die die genannten Eigenschaften besitzt, ist eine mögliche Lösung. Wir geben im Folgenden Beispiele für solche Lösungen:

(a): Die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit $( |{ − n falls n gerade an = |( − n− 1 falls n ungerade$ ist monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend.
(b): Alternierende Folgen sind weder monoton fallend, noch monoton wachsend. Beispielsweise ist die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit a_n = (−1)ⁿ nicht monoton.
(c): Die einzigen Folgen (a_n)_n∈ℕ , die sowohl monoton wachsend, als auch monoton fallend sind, sind konstante Folgen. Denn es muss sowohl a_n ≤ a_n+1, als auch a_n ≥ a_n+1 für alle n ∈ ℕ gelten. Dies ist genau dann der Fall, wenn a_n = a_n+1 für alle n ∈ ℕ gilt.
Beispielsweise ist also die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit a_n = 3 für alle n ∈ ℕ, sowohl monoton wachsend, als auch monoton fallend.
(d): Es gibt keine Folge, die streng monoton wächst, aber nicht monoton wachsend ist, denn wenn a_n < a_n+1 gilt, gilt insbesondere auch die schwächere Bedingung a_n ≤ a_n+1.
(e): ... Es gibt keine Folge, die sowohl streng monoton wachsend, als auch streng monoton fallend ist, da nicht gleichzeitig a_n < a_n+1 und a_n > a_n+1 gelten kann.

6.

Wir zeigen, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit

streng monoton wachsend ist.

(a): Es gilt: $√-- a1 = 1 < 7= 6+ 1= 6 + 1 = a2$
(b): Wir zeigen, dass für alle n ≥ 2 gilt: wenn a_n−1 < a_n, dann ist auch a_n < a_n+1. Sei also a_n−1 < a_n. Dann folgt:
(c): Aus (a) wissen wir, dass a₁ < a₂. Nach (b) ist dann auch a₂ < a₃. Durch wiederholtes Anwenden von (b) gilt allgemein a_n < a_n+1 für alle n ∈ ℕ. Das heißt, (a_n)_n∈ℕ ist streng monoton wachsend.

Wählen wir statt a₁ = 1 das Anfangsglied a₁ = 9, so gilt auch a₂ = 6+ √ --
9 = 6+3 = 9 und allgemeiner a_n = 6+ √ ----
an−1 = 6+ = 6+3 = 9 für alle n ≥ 2. Das heißt, (a_n)_n∈ℕ ist eine konstante Folge.

Wählen wir hingegen a₁ = 16, so ist (a_n)_n∈ℕ streng monoton fallend. Die Argumentation ist dabei analog zum Fall a₁ = 1:

Es gilt: $a = 16> 10 = 6+ 4 = 6+ √16-= a 1 2$
Wir zeigen, dass für alle n ≥ 2 gilt: wenn a_n−1 > a_n, dann ist auch a_n > a_n+1. Sei also a_n−1 > a_n. Dann folgt:
Es folgt, dass a_n > a_n+1 für alle n ∈ ℕ. Das heißt, (a_n)_n∈ℕ ist streng monoton fallend.

39 Lösung (zu Aufgabe 9.3.5).

1.

Ja, jede Folge, die sowohl monoton wachsend, als auch monoton fallend ist, muss konstant sein. Sei etwa (a_n)_n∈ℕ monoton wachsend und monoton fallend. Das heißt, für alle n∈ ℕ gilt sowohl a_n ≥ a_n+1, als auch a_n ≤ a_n+1. Also gilt

an ≤ an+1 ≤ an

für alle n ∈ ℕ. Dies kann aber nur sein, wenn a_n = a_n+1 für alle n ∈ ℕ. Also ist (a_n)_n∈ℕ eine konstante Folge.

2.

Eine Folge muss nicht alternieren, damit sie nicht monoton ist. Betrachten wir etwa die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = (n−2)². Es gilt:

Insbesondere gilt

a1 > a2 < a3

Also kann die Folge (a_n)_n∈ℕ weder monoton wachsend noch monoton fallend sein.

3.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Differenz d. Das heißt, es gilt die rekursive Berechnungsvorschrift

an+1 = an +d

Daraus ergibt sich:

Ist d = 0, so gilt a_n+1 = a_n + 0 = a_n für alle n ∈ ℕ. Also ist die Folge (a_n) konstant. In Worten bedeutet eine Differenz von 0, dass wir, vom einen Folgenglied zum anderen, weder etwas hinzu addieren, noch etwas abziehen. Also sind die Folgenglieder alle gleich: die Folge ist konstant.
Ist d < 0, so gilt a_n+1 = a_n+d < a_n+0 = a_n für alle n ∈ ℕ. Also ist die Folge (a_n) streng monoton fallend. In Worten ausgedrückt, bedeutet eine Differenz < 0, dass wir, von einem Folgenglied zum nächsten, immer etwas abziehen. Das heißt, dass die Folgenglieder immer kleiner werden: die Folge ist (streng) monoton fallend.

Wir betrachten jeweils ein konkretes Beispiel:

Die arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5 und Differenz 0 hat die direkte Berechnungsvorschrift $an = 5+ (n− 1)⋅0$ Anders ausgedrückt, gilt für alle n ∈ ℕ: a_n = 5. Also ist (a_n)_n∈ℕ konstant.
Die arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 4 und Differenz −1 hat die rekursive Berechnungsvorschrift $a = a − 1 n+1 n$ Insbesondere gilt daher $an+1 < an$ für alle n ∈ ℕ. Also ist (a_n)_n∈ℕ streng monoton fallend.

4.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge mit Anfangsglied a < 0 und Quotient q > 0. Das heißt, es gilt die direkte Berechnungsvorschrift

an = a⋅qn−1

Wir benutzen Rechenregeln für Ungleichungen, um die jeweiligen Aussagen zu zeigen. Dabei ist jeweils zu beachten, dass das Anfangsglied a < 0 ist.

Ist q > 1, so gilt für alle n ∈ ℕ: $qn−1 < qn− 1⋅q$ Da a < 0 ist, folgt daraus für alle n ∈ ℕ: $n−1 n−1 n an = a⋅q > a ⋅q ⋅q = a⋅q = an+1$ Also ist (a_n) streng monoton fallend.
Ist q = 1, so gilt für alle n ∈ ℕ: $qn− 1 = 1$ Das heißt, es gilt $a = a⋅qn−1 = a = a⋅1= a n n$ für alle n ∈ ℕ. Also sind alle Folgenglieder gleich a: die Folge (a_n) ist konstant.
Ist 0 < q < 1, so gilt für alle n ∈ ℕ: $n−1 n− 1 q > q ⋅q$ Da a < 0 ist, folgt daraus für alle n ∈ ℕ: $an = a⋅qn−1 < a ⋅qn−1 ⋅q = a⋅qn = an+1$ Also ist (a_n) streng monoton wachsend.

Wir betrachten jeweils ein konkretes Beispiel:

Die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −3 und Quotient 2 hat die direkte Berechnungsvorschrift $an = (− 3) ⋅2n−1$ Da das Anfangsglied a₁ = −3 negativ ist erhalten wir durch Multiplizieren mit 2 in jedem Schritt eine betragsmäßig größere, aber immer noch negative Zahl. Also gilt für alle n ∈ ℕ: a_n+1 < a_n. Das heißt, (a_n) ist streng monoton fallend.
Die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −4 und Quotient 1 hat die direkte Berechnungsvorschrift $an = (− 4) ⋅1n−1$ Also gilt $an = (− 4)⋅1n−1 = (− 4)⋅1 = − 4$ für alle n ∈ ℕ. Demnach sind alle Glieder von (a_n) gleich −4: die Folge ist konstant.
Die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −5 und Quotient hat die direkte Berechnungsvorschrift $( )n−1 an = (− 5)⋅ 1 2$ Durch Multiplizieren mit wird der Betrag der Folgenglieder jeweils halbiert. Da das Anfangsglied a₁ = −5 aber negativ ist, bedeutet das, das die Folgenglieder immer größer werden: es gilt a_n+1 >a_n für alle n∈ ℕ. Die Folge (a_n)_n∈ℕ ist streng monoton wachsend.

Ist q < 0 und a≠0, so alterniert die geometrische Folge. Insbesondere ist sie nicht monoton.

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