35 Lösung (zu Aufgabe 9.2.6).

1.

Wir betrachte die Folge (a_n)_n≥−3 mit der Berechnungsvorschrift Die ersten sieben Folgenglieder lauten: Die Folge ist nicht alternierend, da die Vorzeichen von a₂ und a₃ übereinstimmen.

2.

Wir betrachten die Folge (b_n)_n∈ℕ mit der Berechnungsvorschrift Für gerade n gilt: Für ungerade n gilt: Also können wir die Berechnungsvorschrift von (b_n)_n∈ℕ auch wie folgt angeben: Die Folge ist demnach alternierend (da b_n < 0 für ungerade n und b_n > 0 für gerade n). Wir skizzieren den Graphen:

36 Lösung (zu Aufgabe 9.2.10).

1.

Wir arbeiten die Folgen eine nach der anderen ab.

• Die arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5 und Differenz 3 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten sieben Folgenglieder lauten: Das 24. Folgenglied ist a₂₄ = 5+3⋅23 = 74. Wir skizzieren den Graphen:

  

• Die arithmetische Folge (b_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −7 und Differenz 2 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten sieben Folgenglieder lauten: Das 24. Folgenglied ist b₂₄ = −7+2⋅23 = 39. Wir skizzieren den Graphen:

  

• Die arithmetische Folge (c_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 0 und Differenz −4 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten sieben Folgenglieder lauten: Das 24. Folgenglied ist c₂₄ = 0−4⋅23 = −92. Wir skizzieren den Graphen:

  

• Die arithmetische Folge (d_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 12 und Differenz − hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten sieben Folgenglieder lauten: Das 24. Folgenglied ist d₂₄ = 12− ⋅23 = . Wir skizzieren den Graphen:

  

2.

Die Glieder der arithmetischen Folge (a_n)_n∈ℕ mit

(a)

a_n = 2+2⋅(n−1) entsprechen genau den geraden Zahlen ≥ 2.

(b)

a_n = 5+2⋅(n−1) entsprechen genau den ungeraden Zahlen ≥ 5.

(c)

a_n = 0+7⋅(n−1) sind alle durch 7 teilbar.

In der arithmetischen Folge (a_n)_n∈ℕ mit

(d)

a_n = −1−1⋅(n−1) kommen alle negativen ganzen Zahlen vor.

(e)

a_n = 1+1⋅(n−1) kommen alle positiven ganzen Zahlen vor.

Es gibt keine arithmetische Folge, in der alle ganzen Zahlen vorkommen: in einer arithmetischen Folge kommen allerhöchstens alle ganze Zahlen ≤ dem Anfangsglied oder alle ganzen Zahlen ≥ dem Anfangsglied vor (da die Differenz konstant gewählt werden muss). In der Folge (a_n)_n∈ℕ mit

kommen alle ganzen Zahlen vor.

3.

Wir betrachten die arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied −15 und Differenz 7. Diese hat die Rekursionsvorschrift

und die direkte Berechnungsvorschrift

Daher gilt:

• a₅ = −15+7⋅4 = −15+28 = 13
• a₈ = −15+7⋅7 = −15+49 = 34
• a₁₀ = −15+7⋅9 = −15+63 = 48

4.

Es gibt keine arithmetische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₂ = 5, a₇ = −10 und a₁₀ = −20? Denn, damit sowohl a₂ = 5, als auch a₇ = −10 gilt, muss die Differenz zwischen zwei Folgengliedern gleich sein. Um aber sowohl a₂ = 5, als auch a₁₀ = −20 Gültigkeit zu verleihen, müsste die Differenz gleich sein. Also kann eine arithmetische Folge nicht alle drei Bedingungen a₂ = 5, a₇ = −10 und a₁₀ = −20 gleichzeitig erfüllen.

5.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Anfangsglied a und Differenz d. Dann gilt für alle n ∈ ℕ: Daraus folgt für alle n ≥ 2:

37 Lösung (zu Aufgabe 9.2.14).

1.

Wir arbeiten die Folgen eine nach der anderen ab.

• Die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 1 und Quotient 2 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten acht Folgenglieder lauten: Das 12. Folgenglied ist a₁₂ = 1⋅2¹¹ = 2048.
• Die geometrische Folge (b_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 2 und Quotient −1 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten acht Folgenglieder lauten: Das 12. Folgenglied ist b₁₂ = 2⋅(−1)¹¹ = −2.
• Die geometrische Folge (c_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5000 und Quotient hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten acht Folgenglieder lauten: Das 12. Folgenglied ist Es besteht folgender Zusammenhang zwischen den Gliedern der Folgen (a_n)_n∈ℕ und (c_n)_n∈ℕ: es gilt für alle n ≥ 2 Dies lässt sich wie folgt nachweisen:
  

  In Worten liegt dieser Zusammenhang daran, dass wir bei (a_n)_n∈ℕ jeweils mit einer Potenz von 2 multiplizieren und bei (c_n)_n∈ℕ mit einer Potenz von = 0,2.

• Die geometrische Folge (d_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 48 und Quotient 0,5 hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten acht Folgenglieder lauten: Das 12. Folgenglied ist d₁₂ = 48⋅0,5¹¹ = 0,0234375.
• Die geometrische Folge (e_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied und Quotient − hat die Rekursionsvorschrift
  

  und die direkte Berechnungsvorschrift

  Die ersten acht Folgenglieder lauten: Das 12. Folgenglied ist .

2.

Wir betrachten die geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit Anfangsglied 5 und Quotient 3. Diese hat die Rekursionsvorschrift

und die direkte Berechnungsvorschrift

Daher gilt:

• a₂ = 5⋅3¹ = 5⋅3 = 15
• a₄ = 5⋅3³ = 5⋅27 = 135
• a₅ = 5⋅3⁴ = 5⋅81 = 405

3.

Nein, es gibt keine geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₃ = 5, a₆ = −40 und a₈ = −360. Denn:

• Eine geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₃ = 5 und a₆ = −40 bräuchte den Quotienten
• Eine geometrische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a₆ = −40 und a₈ = −360 bräuchte einen der folgenden beiden Quotienten:

Also kann keine geometrische Folge alle drei genannten Bedingungen erfüllen.

4.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge mit Anfangsglied a und Quotient q. Dann gilt für alle n ∈ ℕ: Daraus folgt für alle n ≥ 2:

5.

Wir wollen 10000 Euro für 5 Jahre fest anlegen und überlegen uns, für welches der folgenden Angebote wir uns entscheiden sollen:

(a)

Bank A bietet einen jährlichen Zinssatz von 3%.

(b)

Bank B bietet einen monatlichen Zinssatz von 0,25%.

(c)

Bank C bietet einen täglichen Zinssatz von 0,0095%.

Fünf Jahre entsprechen 5⋅12 = 60 Monaten und 5⋅365 = 1825 Tagen (wenn die zusätzlichen Tage aus Schaltjahren nicht mitberücksichtigt). Das heißt, am Ende des Anlagezeitraums würden wir bei der jeweiligen Bank folgenden Betrag erhalten:

(a)

Bank A: 10000⋅1,03⁵ = 11592,74

(b)

Bank B: 1,0025⁶⁰ = 11616,17

(c)

Bank C: 10000⋅1,000095¹⁸²⁵ = 11893,02

Bei Bank C erhalten wir nach den fünf Jahren also deutlich mehr Geld als bei den anderen beiden Banken. Falls der Endbetrag unser einziges Entscheidungskriterium ist, entscheiden wir uns für Bank C.

6.

Die geometrische Folge (a_n)_n≥0 mit Anfangsglied 3 und Quotient 0,92635 beschreibt den genannten Zerfall passend. Das Anfangsglied a₀ = 3 steht für die 3g des Cobalt-Isotops die zu Beobachtungsbeginn in unserem Präparat vorhanden sind. Der Quotient 0,92635 lässt sich wie folgt erklären: innerhalb von 30 Tagen zerfallen jeweils 7,365% der noch vorhandenen 57Co-Atome. Das heißt, nach je 30 Tagen sind noch 100%−7,365% = 92,635% des Cobalt-Isotops übrig. Die ersten fünf Folgenglieder lauten: Nach 360 = 12⋅30 Tagen (also ungefähr einem Jahr) befinden sich noch Gramm des Cobalt-Isotops 57Co in unserem Präparat.