3.0.1 Definition. Eine mathematische Aussage über die Gleichheit zweier Terme bezeichnet man als Gleichung. Das heißt, eine Gleichung hat die allgemeine Gestalt

wobei T ₁ und T ₂ zwei Terme sind. Um Gleichungen kompakt aufzuschreiben benutzt man das Gleichheitszeichen “=”. Die allgemeine Gestalt einer Gleichung liest sich dann wie folgt: Wie jede mathematische Aussage, ist eine Gleichung entweder wahr oder falsch. Man sagt auch, dass eine Gleichung erfüllt ist, wenn sie wahr ist. Eine Gleichung heißt nicht erfüllt, wenn sie falsch ist.

Ist mindestens einer der beiden Terme von einer oder mehreren Variablen abhängig, so hängt der Wahrheitswert der Gleichung in der Regel davon ab, welche Werte man konkret für die Variablen einsetzt. In diesem Fall bezeichnet man die Werte, beziehungsweise Kombinationen von Werten, für die die Gleichung wahr ist, als Lösungen der Gleichung.

3.0.2 Beispiel.

1.

Die Gleichung 1 = 1 ist wahr (bzw. erfüllt).

2.

Die Gleichung 1 = 0 ist falsch (bzw. nicht erfüllt).

3.

Der Wahrheitswert der Gleichung 2x+1 = 3 hängt davon ab, welche Zahl man für x einsetzt. Setzt man 1 ein, so lautet die Gleichung 2 ⋅ 1 + 1 = 3 und ist daher wahr. Das heißt 1 ist eine Lösung der Gleichung 2x+1 = 3.

Setzt man eine andere Zahl ein, so ist die Gleichung falsch. Für 0 erhalten wir beispielsweise die falsche Gleichung 2⋅0+1 = 3.

4.

Die Gleichung 1+x = 1+x ist immer wahr, obwohl ihre beiden Terme von einer Variablen abhängen. Das liegt daran, dass die Terme denselben Wert haben, wenn man bei beiden für x die gleiche Zahl einsetzt.

3.0.3 Bemerkung (Eigenschaften von Gleichungen).

1.

Die Gleichung T = T ist für jeden beliebigen Term T erfüllt. Gleichungen bei denen auf beiden Seiten exakt das Gleiche steht, sind also immer wahr.

2.

Sind die Gleichungen T ₁ = T ₂ und T ₂ = T ₃ für gewisse Terme T ₁,T ₂ und T ₃ erfüllt, so ist auch die Gleichung T ₁ = T ₃ erfüllt. Gleichheit ist also übertragbar.

3.

Es seien T ₁ und T ₂ zwei Terme. Die Gleichung T ₁ = T ₂ ist genau dann wahr, wenn die Gleichung T ₂ = T ₁ wahr ist. Man darf Gleichungen also in beide Richtungen lesen.

3.0.4 Beispiel.

1.

Die Gleichungen

(a)

13 = 13

(b)

871625 = 871625

(c)

5x+7 = 5x+7

(d)

x+2y+3z−1759 = x+2y+3z−1759

sind alle erfüllt, da jeweils auf beiden Seiten exakt dasselbe steht.

2.

Die Gleichungen 13−7 = 6 und 6 = 3⋅2 sind wahr. Daher muss auch die Gleichung 13−7 = 3⋅2 wahr sein.

3.

Die Gleichung 3x+2 = 4y−6 ist genau dann erfüllt, wenn die Gleichung 4y−6 = 3x+2 erfüllt ist.

3.0.5 Definition und Bemerkung. Eine Operation die man auf beiden Seiten einer Gleichung ausführt, bezeichnet man als Umformung der Gleichung oder Gleichungsumformung. Gleichungsumformungen, die den Wahrheitsgehalt einer Gleichung nicht ändern, nennt man Äquivalenzumformungen. Gleichungsumformungen, die man umkehren (das heißt durch eine weitere Umformung eindeutig rückgängig machen) kann, sind immer Äquivalenzumformungen.

3.0.6 Beispiel (Gleichungen umformen). Die häufigsten Umformungen, die man vornimmt, sind Additionen (beziehungsweise Subtraktionen) und Multiplikationen (beziehungsweise Divisionen). Wir gehen von der Gleichung 2x−6 = 14 aus. Dann können wir beispielsweise

• auf beiden Seiten 6 addieren und erhalten dadurch die Gleichung 2x = 20 oder
• auf beiden Seiten 14 subtrahieren und erhalten dadurch die Gleichung 2x−20 = 0 oder
• beide Seiten mit 3 multiplizieren und erhalten dadurch die Gleichung 6x−18 = 42 oder
• beide Seiten durch 2 dividieren und erhalten dadurch die Gleichung x−3 = 7.

Es ist auch möglich, die entsprechenden Operationen mit Variablen auszuführen. So können wir etwa

• auf beiden Seiten x addieren und erhalten dadurch die Gleichung 3x−6 = 14+x oder
• auf beiden Seiten 2x subtrahieren und erhalten dadurch die Gleichung −6 = 14−2x oder
• beide Seiten mit x multiplizieren und erhalten dadurch die Gleichung 2x² −6x = 14x.

Beim Dividieren durch Variablen ist allerdings Vorsicht geboten, da man sicherstellen muss, dass man nicht durch 0 dividiert. So darf man etwa nicht durch x dividieren, wenn x = 0 sein kann. Auch wenn man durch einen komplizierteren Ausdruck dividieren will, wie etwa 8−2⋅(x+1), muss man Acht geben, denn setzt man in diesen Ausdruck x = 3 ein, so erhält man 8−2⋅4 = 0.

Machen wir uns nun anhand einiger Beispiele klar, was Äquivalenzumformungen sind:

1.

Das Addieren einer Zahl lässt sich durch das Subtrahieren derselben Zahl umkehren. Das Addieren einer bestimmten Zahl auf beiden Seiten einer Gleichung ist daher eine Äquivalenzumformung.

Beispiel: Gehen wir wieder von der obigen Gleichung 2x−6 = 14 aus. Addieren wir auf beiden Seiten 6 dazu, so erhalten wir die Gleichung 2x = 20. Subtrahieren wir nun auf beiden Seiten 6, so landen wir bei der ursprünglichen Gleichung 2x−6 = 14.

2.

Gleiches gilt für das Subtrahieren einer Zahl. Hier ist das Addieren derselben Zahl die Umkehrung.

Beispiel: Subtrahieren wir 14 auf beiden Seiten der Gleichung 2x− 6 = 14, so erhalten wir 2x − 20 = 0. Addieren wir nun 14 auf beiden Seiten, so ergibt sich wieder die ursprüngliche Gleichung 2x−6 = 14.

3.

Beim Multiplizieren ist schon Vorsicht geboten. Das Multiplizieren mit einer von 0 verschiedenen Zahl lässt sich durch Division durch diese Zahl umkehren.

Beispiel: Wenn wir beide Seiten der Gleichung 2x − 6 = 14 mit 3 multiplizieren, so ergibt sich 6x−18 = 42. Dividieren wir anschließend durch 3, so erhalten wir wieder die Gleichung 2x−6 = 14.

Das Multiplizieren mit 0 lässt sich aber nicht umkehren, ist also keine Äquivalenzumformung. Das heißt, dass sich der Wahrheitsgehalt einer Gleichung eventuell ändert, wenn wir beide Seiten der Gleichung mit 0 multiplizieren.

Beispiel: Die Gleichung 1 = 2 ist falsch. Multiplizieren wir beide Seiten mit 0, so erhalten wir die wahre Gleichung 0 = 0. Der Wahrheitswert der Gleichung hat sich also verändert.

Weiteres Beispiel: Die Gleichung 2x − 6 = 14 hat für verschiedene Werte von x verschiedene Wahrheitswerte. Setzt man 10 ein, so ist die Gleichung wahr. Setzt man 3 ein, so ist sie falsch. Multiplizieren wir beide Seiten der Gleichung mit 0, so erhalten wir wieder die Gleichung 0 = 0. Diese ist immer wahr und hat dadurch, je nach Wert der Variablen x, einen anderen Wahrheitswert als die Gleichung 2x−6 = 14.

4.

Das Dividieren durch eine (von 0 verschiedene) Zahl kann durch Multiplizieren mit derselben Zahl umgekehrt werden und ist daher eine Äquivalenzumformung.

Beispiel: Dividieren wir 2x− 6 = 14 durch 2, so ergibt sich die Gleichung x− 3 = 7. Multiplizieren wir dann mit 2, so erhalten wir wieder die Gleichung 2x−6 = 14.

Natürlich kann man bei diesen Umformungen auch Variablen benutzen. Genau wie bei einfachen Zahlen ist das Addieren und Subtrahieren von Variablen eine Äquivalenzumformung. Wir haben oben schon erläutert, dass man beim Dividieren aufpassen muss, dass der Ausdruck, durch den man dividieren will, nicht gleich 0 ist. Da wir aber gerade gesehen haben, dass das Multiplizieren mit 0 keine Äquivalenzumformung ist, kann es auch beim Multiplizieren mit Variablen zu Schwierigkeiten kommen: Darf man für x jede beliebige ganze Zahl einsetzen, so sind beispielsweise das Multiplizieren mit x, (x−1) oder (3x−9) in der Regel keine Äquivalenzumformungen.

3.0.7 Tipps (Umformungen aufschreiben). Wir wollen nun erklären, wie man Gleichungsumformungen übersichtlich und mathematisch korrekt aufschreibt. Als begleitendes Beispiel wählen wir die Gleichung

als Ausgangspunkt. Wir signalisieren einen Umformungsschritt mit einem der beiden Pfeile ⇒, ⇔. Sprachlich steht ⇒ stellvertretend für “daraus folgt” und ⇔ steht für “genau dann, wenn”. Dementsprechend signalisiert ⇒ eine allgemeine Umformung und ⇔ eine Äquivalenzumformung.

Beispielsweise könnten wir das Umformen unserer Ausgangsgleichung durch Addieren von 4 auf beiden Seiten, wie folgt aufschreiben:

In Worten: Da die vorgenommene Umformung eine Äquivalenzumformung ist, ist auch die Schreibweise korrekt. In Worten:

Um leichter den Überblick zu behalten, schreibt man die umgeformte Gleichung in eine neue Zeile und notiert sich am Rand, welche Umformung man durchgeführt hat.

Dieses Vorgehen ist insbesondere dann anzuraten, wenn mehrere Umformungsschritte hintereinander durchgeführt werden. Subtrahieren wir nun beispielsweise auf beiden Seiten x, so ist

schon wesentlich übersichtlicher und leichter nachvollziehbar als

Um Rechenfehler zu vermeiden, könnt ihr gerne einige Zwischenschritte einfügen, wie zum Beispiel

Dabei soll “Zusammenfassen” signalisieren, dass gewisse Teile der Gleichung miteinander verrechnet werden.

Wie groß ihr die Umformungsschritte wählt und wie genau ihr dokumentiert, welche Umformungen ihr macht, ist letzten Endes euch überlassen. Dabei solltet ihr aber einige Dinge beachten. Zunächst sollte euch klar sein, für wen ihr die Lösung einer Aufgabe aufschreibt. Soll sie von jemand anderem - wie beispielsweise eurem Lehrer oder einem Mitschüler - gelesen und verstanden werden, so solltet ihr recht ausführlich vorgehen. Schreibt ihr das Ergebnis hingegen nur für euch selbst auf, das heißt niemand sonst wird es jemals lesen, so könnt ihr so ausführlich oder kompakt schreiben wie es euch sinnvoll erscheint.

Um herauszufinden, ob ihr besser mehrere kleine Schritte machen solltet oder wenige große machen könnt, könnt ihr wie folgt vorgehen. Bearbeitet eine längere Aufgabe zum Umformen von Gleichungen und lasst sie danach ein paar Tage liegen ohne reinzuschauen (solange bis ihr vergessen habt, wie ihr die Aufgabe bearbeitet habt). Dann lest eure Lösung wieder durch. Wenn ihr euch dabei fragt „Was hab ich hier eigentlich gemacht?”, dann solltet ihr lieber ausführlichere Lösungen produzieren. Sind euch alle eure Schritte sonnenklar, so könnt ihr in Erwägung ziehen, eventuell größere Umformungsschritte zu benutzen.

Wir werden später noch sehr oft auf Gleichungsumformungen treffen. Damit diese möglichst leicht nachvollziehbar sind, werden wir generell kleine Umformungsschritte verwenden.