Funktionsvorschriften quadratischer Funktionen aus drei paarweise voneinander verschiedenen Punkten des Graphen bestimmen

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Funktionsvorschriften quadratischer Funktionen aus drei paarweise voneinander verschiedenen Punkten des Graphen bestimmen

8.1.5 Problemstellung. Es seien drei paarweise voneinander verschiedene Punkte P, Q und R gegeben, die auf dem Graphen einer unbekannten quadratischen Funktion liegen. Ziel ist es, diese Funktion zu ermitteln.

8.1.6 Lösungsansatz. Wir setzen für die zu ermittelnde quadratische Funktion die Standardform

ℝ → ℝ, x ↦→ ax2+ bx+ c

an. Wir müssen nun die Informationen, die uns in Form der drei Punkte vorliegen, nutzen, um die drei Parameter a, b und c zu bestimmen.

Da die Punkte P, Q und R auf dem Graphen liegen sollen, müssen ihre Koordinaten die Funktionsgleichung

2 y= ax + bx +c

erfüllen. Setzen wir die Punkte nacheinander ein, so erhalten wir drei lineare Gleichungen in den Unbestimmten a, b und c. Diese drei Gleichungen müssen alle gleichzeitig erfüllt sein. Dadurch entsteht ein lineares Gleichungssystem, das wir mit einem der in Kapitel 5 vorgestellten Verfahren lösen können.

8.1.7 Beispiel. Es seien die drei Punkte P = (0,1), Q = (2,1) und R = (−1,−5) gegeben. Wir wollen die quadratische Funktion

f : ℝ→ ℝ, x↦→ ax2+ bx+ c

ermitteln, deren Graph alle drei Punkte enthält. Dazu bestimmen wir die Werte der Parameter a, b und c und gehen dabei vor wie im obigen Lösungsansatz erläutert.

Die gegebenen Punkte sollen alle auf dem Graphen von f liegen, das heißt sie müssen alle von der Form (x,y) = (x,f(x)) sein. Daher erfüllen ihre Koordinaten jeweils die Funktionsgleichung

y= ax2+ bx +c

Setzen wir die Koordinaten der Punkte ein, so ergeben sich die folgenden drei Gleichungen:

1 = a ⋅02 + b ⋅0 + c 2 1 = a ⋅2 + b ⋅2 + c − 5 = a⋅(− 1 )2 + b⋅(− 1) + c

Nach Vereinfachen der Terme, sehen die Gleichungen wie folgt aus:

1 = c 1 = 4a + 2b + c − 5 = a − b + c

Nun vertauschen wir noch jeweils die Seiten der Gleichungen und erhalten schließlich das Gleichungssystem

⌊ ⌋ c = 1 |⌈ 4a + 2b + c = 1 |⌉ a − b + c = − 5

Die erste Gleichung können wir leicht nutzen, um c in den beiden anderen Gleichungen zu eliminieren. Dazu subtrahieren wir die erste Gleichung von der zweiten

4a + 2b + c = 1 − c = 1 ------4a--+---2b--------=---0-

und von der dritten

a − b + c = − 5 -−-----------------c--=----1-- a − b = − 6

Dadurch erhalten wir das Gleichungssystem

⌊ ⌋ c = 1 |⌈4a + 2b = 0 |⌉ a − b = − 6

Addieren wir nun das doppelte der dritten Gleichung zur zweiten hinzu

4a + 2b = 0 + 2a − 2b = − 12 ------6a-------------=---−-12--

so erhalten wir eine Gleichung, die wir noch vereinfachen können, indem wir beide Seiten durch 6 teilen. Damit stehen wir nun bei dem Gleichungssystem

⌊ ⌋ c = 1 |⌈a = − 2|⌉ a − b = − 6

Benutzen wir schließlich die zweite Gleichung, um den Parameter a in der dritten Gleichung zu eliminieren

a − b = − 6 − a = − 2 ----------------------------- − b = − 4

und vereinfachen die resultierende Gleichung −b = −4, indem wir beide Seiten mit (−1) multiplizieren, so erhalten wir das Gleichungssystem

⌊ ⌋ c = 1 |a = − 2| ⌈ ⌉ b = 4

Nun können wir die Lösung einfach ablesen: a = −2, b = 4, c = 1. Das heißt, die zu bestimmende Funktion f sieht wie folgt aus:

f : ℝ → ℝ, x↦→ − 2x2+ 4x+ 1

Um unser Ergebnis auf Richtigkeit zu überprüfen, testen wir, ob die drei gegebenen Punkte P = (0,1), Q = (2,1) und R = (−1,−5) tatsächlich auf dem Graphen der von uns ermittelten Funktion f liegen. Dazu setzen wir jeweils die x-Koordinate des Punktes in die Funktion ein und überprüfen, ob der passende Funktionswert herauskommt

Ein Vergleich der Funktionswerte mit den y-Koordinaten der drei Punkte zeigt, dass diese alle auf dem Graphen von f liegen. Unser Ergebnis stimmt also.

8.1.8 Aufgabe. Im Folgenden sind je drei Punkte aufgelistet. Bestimme jeweils eine quadratische Funktion, deren Graph alle drei Punkte enthält. Überprüfe auch, ob dein Ergebnis stimmt.

1.: P = (0,5), Q = (1,2), R = (3,2)
2.: P = (1,5), Q = (3,5), R = (4,11)
3.: P = (−3,−3), Q = , R = (−1,−1)
4.: P = , Q = , R = (1,4)
5.: P = (2,0), Q = (4,1), R = (6,0)
6.: P = , Q = , R =

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