26 Lösung (zu Aufgabe 7.0.5). In dieser Aufgabe sollen wir die Schnittpunkte von Funktionen berechnen. Wie schon in Bemerkung 7.0.3 gesagt, besteht dabei die Hauptarbeit darin, Gleichungen der Form f(x) = g(x) zu lösen, wobei f und g Funktionen sind. Die Funktionen die wir hier betrachten sind alle linear oder quadratisch, sodass die entstehenden Gleichungen ebenfalls linear oder quadratisch sein werden.

1.

Gegeben sind die Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦2   und   g :  ℝ → ℝ, x↦3x+1. Um ihre Schnittpunkte zu berechnen, müssen wir die Gleichung f(x) = g(x) lösen:

Die Gleichung hat also nur die eine Lösung x = . Das bedeutet, dass die beiden Funktionen f und g genau einen Schnittpunkt haben und dass dessen x-Koordinate gleich ist. Die y-Koordinate bestimmen wir, indem wir x = in eine der Funktionen einsetzen. Da f eine konstante Funktion ist, können wir den Funktionswert an der Stelle x = einfach ablesen: die y-Koordinate ist 2. Also ist der gesuchte Schnittpunkt.

Um die Probe zu machen, setzen wir die x-Koordinate auch in g ein:

Also gilt in der Tat

2.

Nun sollen wir alle Schnittpunkte der Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦x+2   und   g :  ℝ → ℝ, x↦−2x−1 berechnen:

Also haben auch diese beiden Funktionen genau einen Schnittpunkt. Seine x-Koordinate ist −1. Um die y-Koordinate zu bestimmen, setzen wir −1 in f ein:

Also ist (−1,1) der Schnittpunkt von f und g.

Wir machen wieder die Probe, indem wir x = −1 auch in g einsetzen:

Daher gilt was bestätigt, dass (−1,1) ein Schnittpunkt der beiden Funktionen ist.

3.

Auch bei den Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦2⋅(x−1)² +2   und   g :  ℝ → ℝ, x↦x+1 starten wir wieder mit dem Ansatz f(x) = g(x) zu lösen:

Wir müssen hier also eine quadratische Gleichung lösen, die in Normalform vorliegt. Dafür können wir beispielsweise die p-q-Formel 6.2.15 benutzen. Dazu berechnen wir zunächst

Da dieser Wert größer als 0 ist, hat die Gleichung genau zwei Lösungen, nämlich und Wir überprüfen, ob die Funktionen tatsächlich die gleichen Werte an diesen Stellen haben:

und

In der Tat stimmen die Funktionswerte jeweils überein, sodass (,) und (1,2) die beiden Schnittpunkte der Funktionen f und g sind.

4.

Nun bestimmen wir die Schnittpunkte der Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦(x+2)² −15   und   g :  ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x−4)² +12:

Hier können wir den Trick aus Bemerkung 6.2.12 anwenden, da −4 = (−1)+(−3) und 3 = (−1)⋅(−3) ist. Daher gilt:

Die Lösungen lassen sich nun einfach ablesen: 1 und 3. Als Probe setzen wir diese Stellen wieder in beide Funktionen ein und vergleichen die Werte:

und

In der Tat stimmen die Funktionswerte jeweils überein. Also sind (1,−6) und (3,10) die Schnittpunkte der Funktionen f und g.

5.

Zuletzt sollen wir die Schnittpunkte der beiden Funktionen f :  ℝ → ℝ, x↦(x+1)² −3   und   g :  ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x−2)² +3 berechnen. Wir gehen wie gehabt vor:

Diese Gleichung hat nur eine Lösung, nämlich 1. Wir setzen diesen Wert wieder in die gegebenen Funktionen ein:

Also ist (1,1) der einzige Schnittpunkt von f und g.

27 Lösung (zu Aufgabe 7.0.8). Nach Bemerkung 7.0.7 sind die Nullstellen einer Funktion f gerade die Lösungen der Gleichung f(x) = 0.

1.

Wir müssen die Gleichung x = 0 lösen. Diese hat genau eine Lösung, nämlich 0. Also ist 0 die einzige Nullstelle von f₁.

2.

Hier müssen wir die Gleichung 2x+3 = 0 lösen:

Demnach ist − die einzige Nullstelle von f₂.

3.

Die Funktion f₃ ist eine konstante Funktion: sie ordnet jedem x ∈ ℝ die Zahl −3 zu. Dementsprechend hat f₃ keine Nullstellen, weil es keine x ∈ ℝ mit f₃(x) = 0 gibt.

4.

Hier müssen wir die Gleichung x² −1 = 0 lösen. Dazu wenden wir die dritte binomische Formel an und rufen uns in Erinnerung, dass ein Produkt zweier Zahlen genau dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren schon 0 ist. Das heißt, die Gleichung x² −1 = 0 hat die beiden Lösungen −1 und 1. Demnach hat die Funktion f₄ die Nullstellen −1 und 1.

5.

In dieser Teilaufgabe müssen wir die Gleichung −3⋅(x−2)² +3 = 0 lösen:

Also hat die Gleichung genau die beiden Lösungen 3 und 1. Dies sind zugleich die Nullstellen der Funktion f₅.

6.

Hier müssen wir die Gleichung ⋅(x−2)² −6 = 0 lösen:

Demnach hat die Gleichung exakt zwei Lösungen, nämlich 4 und 0. Also hat f₆ exakt die beiden Nullstellen 4 und 0.

7.

Nun sollen wir die Gleichung (x+1)² +2 = 0 lösen. Das das Quadrat einer reellen Zahl aber nie negativ ist, hat diese Gleichung keine reellen Lösungen. Das heißt, die Funktion f₇ hat keine Nullstellen.

8.

Bei der Funktionsvorschrift von f₈ :  ℝ → ℝ, x↦0,5⋅x² +1,75⋅x können wir x ausklammern: Also ist 0 eine Nullstelle von f₈. Um die zweite Nullstelle auszurechnen, lösen wir die Gleichung 0,5⋅x+1,75 = 0:

Also ist −3,5 die zweite Nullstelle von f₈.

28 Lösung (zu Aufgabe 7.0.10). Nach Bemerkung und Definition 7.0.9 ist der y-Achsenabschnitt einer Funktion nichts weiter als der Wert der Funktion an der Stelle 0.

1.

f₁(0) = 0

2.

f₂(0) = 2⋅0+3 = 0+3 = 3

3.

f₃(0) = −3

4.

f₄(0) = 0² −1 = 0−1 = −1

5.

f₅(0) = −3⋅(0−2)² +3 = −3⋅4+3 = −12+3 = −9

6.

f₆(0) = ⋅(0−2)² −6 = ⋅4−6 = 6−6 = 0

7.

f₇(0) = (0+1)² +2 = 1+2 = 3

8.

f₈(0) = 0,5⋅0² +1,75⋅0 = 0+0 = 0