ϵ-δ-Kriterium

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10.1.1 ϵ-δ-Kriterium

Da es oft etwas mühselig ist, die Definition 10.1.2 der Stetigkeit nachzuprüfen, wollen wir uns ein Kriterium erarbeiten, bei dem wir nicht mit Folgen hantieren müssen.

10.1.5 Satz (ϵ-δ-Kriterium). Es sei D ⊆ ℝ, sowie a ∈ D. Eine Funktion f : D → ℝ ist genau dann stetig in a, wenn es für jedes ϵ > 0 ein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ D gilt:

|x− a|< δ =⇒ |f(x)− f(a)|< ϵ

Das heißt, ist der Abstand von x zu a kleiner als δ, so muss der Abstand von f(x) zu f(a) kleiner als ϵ sein.

10.1.6 Bemerkung. In Worten ausgedrückt, besagt das ϵ-δ-Kriterium folgendes: Eine Funktion ist genau dann stetig an der Stelle a, wenn man mit f(x) beliebig nahe an f(a) herankommt, solange man den Abstand von x zu a klein genug wählt.

Beweis.

Es sei f stetig. Angenommen, die ϵ-δ-Bedingung sei nicht erfüllt. Wir zeigen, dass daraus ein Widerspruch entsteht, die Annahme also falsch sein muss.
Ist die ϵ-δ-Bedingung nicht erfüllt, so existiert ein ϵ zu dem es kein δ gibt, das die gewünschte Eigenschaft hat. Das heißt, für jedes δ > 0 existiert ein x ∈ D mit |x−a| < δ, aber |f(x)−f(a)|≥ ϵ. Insbesondere gibt es für jedes n ∈ ℕ ein x_n ∈ D, so dass
$1 |xn− a|< -- aber |f(xn) − f (a )|≥ ϵ n$ Daraus ergibt sich, dass die Folge (x_n)_n∈ℕ gegen a konvergiert, die Folge (f(x_n))_n∈ℕ der Funktionswerte aber nicht gegen f(a) konvergiert. Dies stellt einen Widerspruch zur Voraussetzung dar, dass f stetig ist.
Die Funktion f erfülle nun die ϵ-δ-Bedingung. Es sei (x_n)_n∈ℕ ⊆ D eine Folge die gegen a konvergiert. Wir müssen zeigen, dass dann (f(x_n))_n∈ℕ gegen f(a) konvergiert.
Dazu sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Nach Voraussetzung existiert ein δ, so dass für alle x ∈ D gilt:
$|x − a| < δ = ⇒ |f(x)− f(a)|< ϵ$ Da die Folge (x_n) gegen a konvergiert, existiert ein Index n₀, so dass für alle n ≥ n₀ gilt: $|xn− a|< δ$ Verknüpfen wir nun diese beiden Tatsachen, so ergibt sich, dass für alle n ≥ n₀ gilt: $|f(xn) − f (a )|< ϵ$ Damit ist gezeigt, dass (f(x_n))_n∈ℕ gegen f(a) konvergiert.

10.1.7 Beispiel. Wir untersuchen einige der in Beispiel 10.1.4 schon behandelten Funktionen nun mit Hilfe des ϵ-δ-Kriteriums.

1.: Es sei c∈ ℝ eine reelle Zahl und D⊆ ℝ eine Menge reeller Zahlen. Dann ist die konstante Funktion $f :D → ℝ,x ↦→ c$ stetig nach dem ϵ-δ-Kriterium: Es seien a ∈ D und ϵ > 0 beliebig. Dann gilt für alle x ∈ D $|f (x)− f (a)|= |c− c|= 0 < ϵ$ Dies gilt daher insbesondere für alle x ∈ D mit |x−a| < 1. Wir können unabhängig von der Wahl von ϵ also einfach δ := 1 setzen.
2.: Es sei D ⊆ ℝ. Dann ist die Funktion $f :D → ℝ,x ↦→ x$ stetig nach dem ϵ-δ-Kriterium. Um dies zu zeigen, seien a ∈ D und ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Setzen wir δ := ϵ, so gilt für alle x ∈ D mit |x−a| < δ: $|f(x)− f(a)|= |x− a|< δ = ϵ$ Also ist f stetig in jedem beliebigen a∈D und daher stetig auf dem gesamten Definitionsbereich.
3.: Es seien b,c ∈ ℝ reelle Zahlen, wobei b≠0. Zudem sei D ⊆ ℝ eine Menge reeller Zahlen. Wir wollen das ϵ-δ-Kriterium verwenden, um zu zeigen, dass die Funktion $f :D → ℝ,x↦→ bx+ c$ stetig ist. Dazu seien a ∈ D und ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Setzen wir δ := , so gilt für alle x ∈ D mit |x−a| < δ:

Also ist f stetig.
4.: Wir betrachten nun die Wurzelfunktion $√ - f :ℝ ≥0 → ℝ,x ↦→ x$ Es seien a ∈ ℝ_≥0 und ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Setzen wir δ := ϵ ⋅, so gilt für alle x ∈ D mit |x−a| < δ:
5.: Wir betrachten wieder die Vorzeichenfunktion $( || − 1 falls x< 0 ||| { f :ℝ → ℝ, x↦→ || 0 falls x= 0 ||| ( 1 falls x> 0$ und weisen mittels des ϵ-δ-Kriteriums nach, dass f an der Stelle a = 0 nicht stetig ist. Um dies zu bewerkstelligen, müssen wir ein ϵ angeben für das es kein δ > 0 gibt, so dass für alle x ∈ ℝ $|x − a| < δ = ⇒ |f(x)− f(a)|< ϵ$ gilt. Wir können beispielsweise ϵ := wählen. Es sei nun δ > 0 beliebig vorgegeben. Setzen wir x := , so gilt $||δ || ||δ|| δ |x− a| = ||-− 0|| = ||-|| = -- < δ 2 2 2$ Das heißt, die Bedingung |x−a| < δ ist erfüllt. Dennoch gilt: $|| ( δ) || 1 |f(x)− f(a)| = ||f -- − f(0)|| = |1− 0| = 1 > -- = ϵ 2 2$ Das heißt, |f(x)−f(a)| < ϵ ist nicht erfüllt. Also kann f an der Stelle a = 0 nicht stetig sein.

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