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10.1.4 Komposition von Funktionen

10.1.18 Definition. Es seien f : Df → ℝ und g : Dg → ℝ Funktionen. Des Weiteren sei für jedes a ∈ Df der Funktionswert f(a) ein Element von Dg. Dann ist g(f(a)) für jedes a ∈ Df definiert, sodass wir die Funktion

g ∘f : Df → ℝ, x↦→ g (f (x))
definieren können. Wir bezeichnen diese Funktion als die Komposition von f und g. Es sind auch die Bezeichnungen Hintereinanderausführung, Verkettung, und Verknüpfung gebräuchlich. Die Zeichenkette “g∘f” wird als “g komponiert mit f”, “g nach f”, “g verkettet mit f” oder “g verknüpft mit f” gelesen. Man sagt auch einfach “g Kringel f”.

10.1.19 Beispiel.

1.
Wir betrachten die Funktionen
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Da Definitions- und Zielbereich beider Funktionen jeweils ganz ℝ sind, können wir sowohl die Verkettung g∘f als auch die Verkettung f ∘g bilden. Diese müssen aber nicht notwendigerweise übereinstimmen. Davon wollen wir uns nun überzeugen. Für g∘f gilt:

(g∘ f)(x) = g(f (x))= g(x − 1)= (x− 1)2
Vertauschen wir die Reihenfolge, so erhalten wir eine andere Funktion.
(f ∘ g)(x)= f(g(x))= f (x2) = x2− 1
Das Resultat der Verkettung ist also abhängig von der Reihenfolge in der wir verketten.
2.
Man kann die Funktionen aus Teilbeispiel 1 auch mit sich selbst verknüpfen. Für die Verknüpfung f ∘f ergibt sich:
(f ∘f)(x)= f(f(x))= f(x− 1) = (x − 1)− 1= x− 2
Verknüpfen wir g mit sich selbst, so erhalten wir:
2 ( 2)2 2⋅2 4 (g ∘g)(x)= g(g(x)) = g(x) = x = x = x
3.
Nun wollen wir ein Beispiel für zwei Funktionen sehen, für die nicht beide Verkettungen g∘f und f ∘g existieren. Dazu seien
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Da der Definitionsbereich von f den Zielbereich von g vollständig enthält (beide sind gleich ℝ), können wir die Verknüpfung

f ∘g : ℝ∖ {0}→ ℝ, x↦→ f(g(x))
bilden. Es gilt:
( 1) 1 (f ∘g)(x)= f(g(x))= f -- = -+ 3 x x
Die Verkettung g∘f existiert allerdings nicht, da f(−3) = −3+3 = 0 nicht im Definitionsbereich ℝ∖{0} von g liegt.
4.
Für die Funktionen
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existiert weder die Komposition g∘f noch f ∘g, denn

  • f(0) = √ -- 0 = 0 liegt nicht im Definitionsbereich ℝ∖{0} von g, und
  • g(−1) = −11 = −1 liegt nicht im Definitionsbereich ℝ≥0 von f.

Wir können die Definitionsbereiche der beiden Funktionen aber so einschränken, dass beide Kompositionen existieren. Denn es gilt:

  • f(x) > 0 für alle x > 0, und
  • g(x) > 0 für alle x > 0.

Betrachten wir also die eingeschränkten Funktionen

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so existieren sowohl g∘f als auch f∘g.

10.1.20 Satz. Es seien f : Df → ℝ und g : Dg → ℝ Funktionen. Des Weiteren sei für jedes a ∈ Df der Funktionswert f(a) ein Element von Dg. Dann gilt: Ist f stetig in a ∈ Df und g stetig in f(a), dann ist auch g∘f stetig in a.

Beweis. Es sei (xn) ⊆ Df eine Folge mit Grenzwert a. Da f stetig ist, konvergiert die Folge (f(xn)) gegen f(a). Nach Voraussetzung sind alle f(xn) Element von Dg, sodass (f(xn)) eine Folge in Dg ist. Da auch g stetig ist, konvergiert die Folge (g(f(xn))) gegen g(f(a)), das heißt die Folge ((g∘f)(xn)) konvergiert gegen (g∘f)(a). Also ist g∘f stetig in a.

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