9.1.7 Bemerkung. Manchmal ist es vorteilhaft eine Folge nicht beim Index 1 starten zu lassen, sondern bei einer anderen ganzen Zahl k ∈ ℤ. Deshalb wollen wir für jedes k auch Abbildungen der Form a : ℤ_≥k → ℝ als Folge reeller Zahlen bezeichnen. Wir schreiben dann auch (a_n)_n∈ℤ≥k oder (a_n)_n≥k um zu verdeutlichen, dass die Folge beim Index k anfängt. Ist uns nicht wichtig, was k genau ist, so schreiben wir auch einfach (a_n).

Alle Definitionen und Sätze für Folgen der Form (a_n)_n∈ℕ gelten analog auch für Folgen der Form (a_n)_n≥k. Das liegt daran, dass man durch eine einfache Indexverschiebung jede Folge der Form (a_n)_n≥k in eine Folge der Form (a_n)_n∈ℕ umwandeln kann. Wie man eine solche Indexverschiebung durchführt sehen wir in Beispiel 9.1.8.

Um uns weiter mit diesem Konzept vertraut zu machen, werden wir in den folgenden Beispielen und Aufgaben noch öfter Folgen behandeln, die nicht mit dem Index n = 1 beginnen.

9.1.8 Beispiel. Wir betrachten die Folge

Die ersten neun Folgenglieder lauten Wir wollen den Index nun so verschieben, dass wir eine Folge der Form (b_n)_n≥0 erhalten. Das heißt, wir wollen eine Folge (b_n)_n≥0 konstruieren für die b_n = a_n−3 für alle n ≥ 0 gilt. Dazu rechnen wir einfach aus, was a_n−3 ist. Betrachten wir also die Folge Dann gilt b_n = a_n−3 für alle n ≥ 0. Insbesondere stimmen die ersten neun Folgenglieder von (b_n)_n≥0 mit den ersten neun Gliedern der Folge (a_n)_n≥−3 überein.

9.1.9 Aufgabe. Verschiebe den Index der folgenden Folgen so, dass du jeweils eine Folge der Form (b_n)_n∈ℕ erhältst.

1.

(a_n)_n≥−2, mit a_n = 3n+4

2.

(a_n)_n≥0, mit a_n =

3.

(a_n)_n≥4, mit a_n = n² −6n+9

4.

(a_n)_n≥−3, mit a_n = ⁿ⁺³