9.5.1 Definition (Grenzwert in Worten). Es sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen und a ∈ ℝ eine reelle Zahl. Dann heißt die Zahl a Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ, wenn sich die Glieder der Folge, mit wachsendem n, der Zahl a immer weiter nähern.

9.5.2 Definition. Es seien x,y ∈ ℝ zwei reelle Zahlen. Dann nennen wir die Zahl

den Abstand von x und y.

9.5.3 Definition. Es sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge und a∈ ℝ eine reelle Zahl. Dann sagen wir, dass die Folge (a_n) gegen a konvergiert, wenn es zu jedem ϵ > 0 einen Index n₀ gibt, so dass für alle n≥ n₀ gilt: |a_n−a|<ϵ. In diesem Fall heißt a Grenzwert oder Limes¹ der Folge (a_n) und wir schreiben

Die Folge (a_n) heißt konvergent, wenn sie einen Grenzwert hat. Sie heißt divergent, wenn sie keinen Grenzwert hat. Wir bezeichnen (a_n) als eine Nullfolge, wenn sie gegen 0 konvergiert.

9.5.4 Bemerkung. Es ist wichtig, zu realisieren, dass in Definition 9.5.3 zuerst das ϵ vorgegeben und danach ein passendes n₀ gesucht wird. Insofern hängt der Index n₀ also vom vorgegebenen ϵ ab. Wenn du willst, kannst du auch eine Notation wählen, die diesen Sachverhalt widerspiegelt. Beispielsweise kannst du den Index mit n₀(ϵ) oder mit n_ϵ bezeichnen.

Ist (a_n)_n∈ℕ eine Folge mit Grenzwert a ∈ ℝ, dann sagen wir auch, dass a_n, für n gegen ∞, gegen a konvergiert. In Zeichen:

9.5.5 Beispiel. Nun wollen wir aber endlich einige Beispiele betrachten.

1.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine konstante Folge mit Wert a ∈ ℝ. Dann ist a auch der Grenzwert der Folge (a_n). Dies ist anschaulich klar, da alle Folgenglieder a_n denselben Wert haben, nämlich a. Das heißt alle a_n sind so nah an a, wie man nur sein kann.

Um dies auch formal zu zeigen, müssen wir uns ein ϵ > 0 beliebig vorgeben lassen. Dann gilt für alle n ≥ 1:

Also konvergiert (a_n)_n∈ℕ gegen a.

2.

Wir betrachten wieder die harmonische Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = für alle n ∈ ℕ. Anschaulich dividieren wir, mit wachsendem Index, die Zahl 1 durch eine immer größer werdende Zahl n. Die Folgenglieder nähern sich also immer weiter der 0. Diese Vermutung erhält man auch, wenn man sich den Verlauf des Graphen näher anschaut.

Auf der linken Seite haben wir die ersten paar Folgenglieder abgebildet. Die rechte Skizze zeigt die Folgenglieder 1000 bis ungefähr 5000. Da bei diesem Index-Bereich die Glieder der Folge alle zwischen 0 und 0,001 liegen, haben wir die Skalierung angepasst.

Wir wollen nun formal beweisen, dass die Folge gegen 0 konvergiert. Dazu sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Wählen wir n₀ so, dass n₀ > , dann gilt für alle n ≥ n₀:

Also konvergiert (a_n)_n∈ℕ gegen 0.

3.

Nun betrachten wir die alternierende Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = (−1)ⁿ für alle n ∈ ℕ. Diese springt immer zwischen den Werten −1 und 1 hin und her. Das heißt, zwei aufeinanderfolgende Glieder der Folge haben einen Abstand von 2 voneinander. Anschaulich sollte die Folge also keinen Grenzwert haben. Dies zeigen wir formal mit Hilfe eines Widerspruchsbeweises.

Dazu nehmen wir an: Die Folge (a_n)_n∈ℕ konvergiert gegen ein a ∈ ℝ. Dann gibt es ein n₀, so dass für alle n ≥ n₀ gilt: |a_n−a| < 1. Dadurch erhalten wir einen Widerspruch.

Da aus der Annahme, dass (a_n)_n∈ℕ konvergiert, die falsche Aussage “2 < 2” folgt, muss die Annahme schon falsch gewesen sein. Also besitzt die Folge (a_n)_n∈ℕ keinen Grenzwert.

4.

Zuletzt überlegen wir uns, welches Konvergenzverhalten die Folge (a_n)_n∈ℕ mit an den Tag legt. Dazu formen wir die Berechnungsvorschrift erst einmal etwas um. Bei dieser Form kann man sich denken, dass die Terme, die n beziehungsweise n² im Nenner haben, mit wachsendem Index n immer weniger Einfluss auf den Wert von a_n haben. Wie wir später (in Beispiel 9.5.14 zu den Grenzwertsätzen 9.5.12) noch sehen werden, ist genau das der Fall. Dies liegt daran, dass die Terme mit n² unter allen Termen in Zähler und Nenner von am schnellsten (im Betrag) wachsen. Sie bestimmen daher das Verhalten der Folgenglieder für große n.

Auch eine Skizze des Graphen deutet auf dieses Verhalten hin.

Schon nach den ersten paar Folgengliedern ist der Abstand zu so klein, dass man in der linken Skizze kaum noch eine Veränderung erkennt. In der rechten haben wir deshalb leicht hineingezoomt und ein paar Glieder mehr dargestellt.

9.5.6 Aufgabe.

1.

Im Folgenden ist jeweils die Berechnungsvorschrift einer Folge der Form (a_n)_n∈ℕ gegeben. Stelle eine Vermutung auf, welche der aufgelisteten Folgen konvergieren und welche nicht. Welche Grenzwerte haben die konvergenten Folgen wohl?

(a)

a_n = −n

(b)

a_n = n²

(c)

a_n =

(d)

a_n = 3n−2

(e)

a_n = 5−13n

(f)

a_n = (−1)ⁿ⋅

(g)

a_n = 2ⁿ

(h)

a_n = (−2)ⁿ

(i)

a_n = 2⁻ⁿ

(j)

a_n = (−2)⁻ⁿ

(k)

a_n =

(l)

a_n =

Im Verlauf dieses Kapitels werden wir den meisten dieser Folgen wieder begegnen und sie dann genauer auf Konvergenz untersuchen. Wenn es soweit ist, kannst du überprüfen, ob deine hier gemachten Vermutungen tatsächlich stimmen.

2.

Stelle auch zu den Folgen (a_n)_n∈ℕ mit den unten stehenden Berechnungsvorschriften Vermutungen bezüglich ihrer Konvergenz auf.

(a)

a_n = 1+

(b)

a_n = −+

(c)

a_n =

(d)

a_n =

(e)

a_n =

(f)

a_n =

(g)

a_n =

(h)

a_n =

Diese Folgen finden wir konkret in Aufgabe 9.5.15 wieder. Dort werden wir über die nötigen Mittel verfügen, um die Grenzwerte (falls vorhanden) formal korrekt zu berechnen.