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13.1.1 Zu Abschnitt 9.1 Folgen

31 Lösung (zu Aufgabe 9.1.4). Es geht um die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit a_n = n−1
n .

1.: Wir berechnen die genannten Folgenglieder:
2.: Die Zahl 0,25 ist nicht Teil der Folge, die Zahlen 0,8 und 0,99 schon:
3.: Die Folge (a_n)_n∈ℕ entspricht folgender Abbildung: $a :ℕ → ℝ, n ↦→ 3 ⋅ n−-1 n$

32 Lösung (zu Aufgabe 9.1.6). Die nachfolgenden Skizzen sind lediglich als Beispiele und nicht als Musterlösungen zu verstehen: du musst nicht exakt diese Anzahl an Folgengliedern einzeichnen oder genau diese Skalierung verwenden.

33 Lösung (zu Aufgabe 9.1.9). Durch Indexverschiebung ergeben sich aus den im Aufgabentext genannten Folgen (a_n) die unten aufgelisteten Folgen (b_n)_n∈ℕ.

1.: (b_n)_n∈ℕ , mit b_n = 3n−5
2.: (b_n)_n∈ℕ , mit b_n =
3.: (b_n)_n∈ℕ , mit b_n = n²
4.: (b_n)_n∈ℕ , mit b_n = ⁿ⁻¹

34 Lösung (zu Aufgabe 9.1.12).

1.

Die ersten zehn Folgenglieder lauten:

|| | | | | | | | | | -n--||1-|2-|3-|4--|5--|6--|7--|-8-|-9-|-10- an ||1 |4 |9 |16 |25 |36 |49 |64 |81 |100

Die Glieder lassen sich wie folgt direkt berechnen: a_n = n².

2.

Die ersten neun Folgenglieder lauten:

| | | | | | | | | -n--|0-|-1--|-2---|-3---|---4---|---5----|---6-----|----7-----|----8------ an |0 |0,3 |0,33 |0,333 |0,3333 |0,33333 |0,333333 |0,3333333 |0,33333333

Das zehnte lautet a₉ = 0,333333333. Die Glieder kommen der Zahl 0,3 = 1
3

immer näher.

3.

(a): b₁ = 1 = 2⋅ = 2¹ ⋅2⁻¹ = 2¹⁻¹
(b): Wir zeigen die Aussage nun für beliebiges n unter der Voraussetzung, dass die Aussage für n−1 wahr ist. Das heißt, wir setzen b_n−1 = 2^(n−1)−1 voraus. $bn = bn−1⋅2 = 2(n−1)− 1⋅2 = 2(n−1)−1+1 = 2n−1$
(c): Wir haben in (a) gezeigt, dass die Aussage für n = 1 gilt. Nach (b) muss sie dann aber auch für n = 2 gelten, und für n = 3 und n = 4 ... also für alle n ∈ ℕ.

4.

Wir wollen folgende direkte Berechnungsvorschrift für die Glieder der Fibonacci-Folge nachweisen:

( √ -)n ( √--)n f = √1-⋅ 1+---5- − √1--⋅ 1-−--5- n 5 2 5 2

Dazu gehen wir wie im Aufgabentext beschrieben vor.

(a)

Wir weisen die Gültigkeit der Formel erst für n = 1 nach:

Dann für n = 2:

(b)

Um dies zu zeigen, beweisen wir erst einmal den Hinweis:

Um die weitere Argumentation übersichtlicher zu gestalten, definieren wir

√ -- √ -- 1+---5- 1−---5- p = 2 und m = 2 .

Des Weiteren definieren wir

als Kurzschreibweise für die zu zeigende Formel. Dann gilt:

Anders formuliert, gilt

an = an− 1+ an−2

für alle n ≥ 3. Nun können wir endlich zeigen, dass die oben angegebene direkte Berechnungsvorschrift für ein beliebiges n ≥ 3 gilt, wenn wir voraussetzen, dass sie für n−1 und n−2 gilt. Dazu sei nun n ≥ 3 beliebig. Des Weiteren gelte die Formel für n−1 und n−2. Anders ausgedrückt, setzen wir

fn−1 = an−1 und fn−2 = an−2

voraus. Daraus folgt nun direkt:

fn = fn−1+ fn−2 = an− 1+ an− 2 = an

(c)

Wir haben in (a) gezeigt, dass die Aussage für n = 1 gilt. Nach (b) muss sie dann aber auch für n = 2 gelten, und für n = 3 und n = 4 ... also für alle n ∈ ℕ.

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