6.6.1 Bemerkung. Zwei Abbildungen sind genau dann gleich, wenn sie den gleichen Definitionsbereich und den gleichen Wertebereich haben und alle Elemente des Definitionsbereichs genau gleich abbilden. Das heißt, zwei Abbildungen

und sind genau dann gleich, wenn D_f = D_g, W_f = W_g und f(x) = g(x) für alle x im Definitionsbereich.

6.6.2 Beispiel. Obwohl die beiden quadratischen Funktionen

und zunächst unterschiedlich aussehen, sind sie doch gleich. Dies können wir einsehen, indem wir die Funktionsvorschrift von f₂ mit Hilfe der ersten binomischen Formel - oder einfach durch Ausmultiplizieren - umformen. Nun kann man direkt sehen, dass f₁ und f₂ übereinstimmen.

6.6.3 Beispiel. Aber wie hilft uns das die eine Form in die andere Umzurechnen? Angenommen, wir haben die quadratische Funktion

in Standardform gegeben und wollen sie in Scheitelpunktform bringen. Das heißt, wir wollen die Parameter r, s und t so wählen, dass gilt. Dazu multiplizieren wir die Scheitelpunktform erst einmal aus.

Wir suchen also r, s und t, welche die Gleichung

für alle x ∈ ℝ erfüllen. Wie wir oben (in und nach Bemerkung 6.6.1) erwähnt haben, müssen dazu die Vorfaktoren von x² und x, sowie die konstanten Terme auf beiden Seiten übereinstimmen. In diesem Fall heißt das, dass für r, s und t Folgendes gelten muss: Die erste Gleichung sagt uns direkt, dass r = 2 sein muss. Wir können r also in den anderen beiden Gleichungen durch 2 ersetzen, sodass wir uns nur noch darum kümmern müssen, dass s und t die folgenden Gleichungen erfüllen: Die obere dieser beiden Gleichungen können wir in s = 1 umformen, sodass wir nun auch wissen, wie s auszusehen hat. Setzen wir diesen Wert nun noch in die untere Gleichung ein, so können wir auch den Wert von t bestimmen.

Wir haben nun alle drei Parameter bestimmt. Die Funktion f hat also die folgende Scheitelpunktform

Zur Probe multiplizieren wir diese noch aus

und sehen dadurch, dass das Ergebnis in der Tat mit der Standardform

von f übereinstimmt.

6.6.4 Rezept. Wir fassen die obige Vorgehensweise zusammen. Gegeben sei eine quadratische Funktion

in Standardform. Wir wollen die Funktionsvorschrift so umformen, dass f in Scheitelpunktform erscheint. Das heißt, wir suchen r, s und t welche die Gleichung für alle x ∈ ℝ erfüllen. Nach Ausmultiplizieren der linken Seite sieht die Gleichung so aus: Wir wollen, dass die Vorfaktoren von x² und x, sowie die konstanten Terme auf beiden Seiten gleich sind. Das heißt, wir müssen r, s und t so wählen, dass die drei Gleichungen erfüllt sind. Wir erhalten also direkt, dass r = a sein muss. Nach Einsetzen von r = a können wir die zweite Gleichung nach s auflösen. Setzen wir dann beide Werte in die dritte Gleichung ein, so können wir schließlich t ausrechnen.

6.6.5 Aufgabe. Bringe die folgenden, in Standardform gegebenen quadratischen Funktionen in Scheitelpunktform. Mache jeweils eine Probe, ob dein Ergebnis stimmt. Gib zudem jeweils den Scheitelpunkt des zugehörigen Graphen an.

1.

f₁ :  ℝ → ℝ, x↦x² −6x+9

2.

f₂ :  ℝ → ℝ, x↦2x² +4x+5

3.

f₃ :  ℝ → ℝ, x↦−3x² +30x−64

4.

f₄ :  ℝ → ℝ, x↦x² +4x+7

5.

f₅ :  ℝ → ℝ, x↦x² −x+2

6.

f₆ :  ℝ → ℝ, x↦0,2⋅x² −0,6⋅x+0,95

6.6.6 Aufgabe. Die folgenden quadratischen Funktionen sind schon in Scheitelpunktform gegeben. Bringe sie in Standardform.

1.

f₁ :  ℝ → ℝ, x↦3⋅(x−1)² +1

2.

f₂ :  ℝ → ℝ, x↦−2⋅(x+4)² −1

3.

f₃ :  ℝ → ℝ, x↦− ⋅(x+1)² −0,2

4.

f₄ :  ℝ → ℝ, x↦0,3⋅² +

6.6.7 Aufgabe. Die folgenden quadratischen Funktionen sind weder in Standardform noch in Scheitelpunktform. Forme sie zunächst in Standardform um und bringe sie dann auf Scheitelpunktform.

1.

f₁ :  ℝ → ℝ, x↦3⋅(x−1)⋅(x+1)+3x+2

2.

f₂ :  ℝ → ℝ, x↦ ⋅(3x−12)+4

6.6.8 Bemerkung. Aus der allgemeinen Formulierung von Rezept 6.6.4 können wir uns auch eine Formel zum Ermitteln der Scheitelpunktform basteln. Dazu steigen wir im Rezept an dem Punkt ein, an dem wir das Gleichungssystem

lösen müssen. Wir sehen direkt, dass r = a gelten muss. Setzen wir diesen Wert in die zweite Gleichung ein und lösen nach s auf

so sehen wir, dass s = − sein muss. Setzen wir nun die berechneten Werte von r und s in die dritte Gleichung ein und lösen nach t auf

so erhalten wir schließlich auch den Wert, den t haben muss. Wir fassen diese Berechnungen in der folgenden Formel zusammen.

6.6.9 Formel. Gegeben sei eine quadratische Funktion

in Standardform. Wir wollen die Funktionsvorschrift so umformen, dass f in Scheitelpunktform erscheint. Dies lässt sich bewerkstelligen, indem man r, s und t wie folgt wählt: Die Scheitelpunktform von f ist also durch gegeben. Der Scheitelpunkt des Graphen von f liegt daher in

6.6.10 Beispiel. Wir betrachten die quadratische Funktion

Um f in Scheitelpunktform zu bringen wenden wir Formel 6.6.9 an.

Also ist

die Scheitelpunktform von f.

6.6.11 Aufgabe. Bearbeite Aufgabe 6.6.5 erneut, nur dass du die Scheitelpunktform diesmal mit Hilfe von Formel 6.6.9 berechnest.

6.6.12 Beispiel. Wir betrachten die quadratische Funktion

Da wir in unseren Erläuterungen zur quadratischen Ergänzung immer die Situation hatten, dass der Vorfaktor von x² gleich 1 war, müssen wir auch hier irgendwie in diese Situation gelangen. Wir stellen sie künstlich her, indem wir den Faktor vor x² ausklammern und uns dann nur noch mit dem Ausdruck (x² −2x) in der Klammer beschäftigen. Wir vollführen nun eine quadratische Ergänzung, indem wir geschickt die 0 addieren.

Nun können wir die zweite binomische Formel anwenden und erhalten

Wir benutzen dies, um die Funktionsvorschrift von f weiter umzuformen Wenn wir nun noch die äußere Klammer auflösen und zusammenfassen, haben wir die Scheitelpunktform hergestellt.

6.6.13 Bemerkung. Wir können die in Beispiel 6.6.12 gemachten Umformungen zur besseren Übersicht auch am rechten Rand notieren, genau wie beim Umformen einer Gleichung.

6.6.14 Rezept. Gegeben sei eine quadratische Funktion

in Standardform. Wir wollen die Funktionsvorschrift mit Hilfe einer quadratischen Ergänzung so umformen, dass f in Scheitelpunktform erscheint. Kurz zusammengefasst führen wir dabei die folgenden Schritte aus:

1.

a ausklammern,

2.

quadratische Ergänzung durchführen,

3.

binomische Formel anwenden,

4.

äußere Klammer auflösen (falls vorhanden),

5.

vereinfachen/zusammenfassen.

6.6.15 Bemerkung. Der Vollständigkeit halber führen wir diese Methode auch noch an einer allgemeinen quadratischen Funktion

vor.

Die Scheitelpunktform von f ist also durch

gegeben. Ein Vergleich zeigt, dass dies dasselbe Ergebnis wie in Formel 6.6.9 ist.

6.6.16 Aufgabe. Bearbeite Aufgabe 6.6.5 erneut, nur dass du die Scheitelpunktform diesmal mit Hilfe der quadratischen Ergänzung berechnest.

6.6.17 Tipps. Wir haben nun drei Möglichkeiten gesehen, wie eine in Standardform gegebene quadratische Funktion in Scheitelpunktform gebracht werden kann. Wenn du die Aufgaben 6.6.5,  6.6.11 und 6.6.16 bearbeitet hast, hast du wahrscheinlich ein Gefühl dafür, welche Methode dir am besten gefällt. Generell ist es vernünftig dann eben diese Methode zu benutzen. Dennoch ist es vorteilhaft, alle drei Vorgehensweisen verstanden zu haben. So könnte eine Aufgabe von dir verlangen, eine bestimmte der drei Methoden zu verwenden. Das könnte dann die Methode sein, die du am liebsten verwendest. Es könnte aber auch die sein, die du womöglich vernachlässigt hast, weil sie dir nicht zusagt.

Wir wollen noch einen entscheidenden Vor- und einen entscheidenden Nachteil der Formel 6.6.9 gegenüber den Rezepten 6.6.4 und 6.6.14 erwähnen. Der Vorteil ist recht offensichtlich: Beim Benutzen der Formeln brauchst du einfach nur ein paar Werte einzusetzen und hast dann die Lösung. Diese Methode ist also potenziell sehr schnell. Der Nachteil besteht darin, dass dabei nicht ersichtlich ist, was überhaupt vor sich geht. Du setzt eben einfach nur ein paar Werte ein und hast dann die Lösung. Deshalb solltest du versuchen zu verstehen, was hinter den Kulissen vor sich geht, bevor du die Formel benutzt.

Ein weiterer Nachteil der Formel-Methode besteht darin, dass du auf eine Aufgabe vermutlich sehr wenige oder gar keine Punkte bekommen wirst, wenn du die Formel falsch anwendest. Wenn du aber eine der beiden anderen Methoden benutzt und dich zwischendurch verrechnest, ist vermutlich immer noch ersichtlich, dass du verstanden hast, worum es geht. Dementsprechend ist es gut möglich, dass du trotz des Rechenfehlers einen Großteil der Punkte bekommst. Im Zweifelsfall solltest du vor einer Arbeit mit deinem Lehrer über die angelegten Bewertungsrichtlinien sprechen.