Lineare Gleichungen mit einer Variablen

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5.1 Lineare Gleichungen mit einer Variablen

Lineare Gleichungen in einer Variablen sind von der allgemeinen Form

ax+ b = cx+ d,

wobei a,b,c und d Zahlen aus der betrachteten Grundmenge sind. Am einfachsten löst man eine solche Gleichung, indem man sie nach der Variablen auflöst, das heißt indem man die Gleichung so umformt, dass auf einer Seite nur noch die Variable und auf der anderen Seite nur noch eine Zahl steht. Generell liegt immer einer der folgenden drei Fälle vor:

1.: Die Gleichung hat eine eindeutig bestimmte Lösung.
2.: Die Gleichung ist immer erfüllt, das heißt es ist egal, welche Zahl wir für x einsetzen.
3.: Die Gleichung hat keine Lösung in der betrachteten Grundmenge. Das heißt keiner der für x erlaubten Werte ist eine Lösung der Gleichung.

5.1.1 Beispiel. Wir geben je ein Beispiel zu jedem der drei Fälle an. Die Umformungen, die wir an den Gleichungen durchführen, beschreiben wir hier nicht mit Worten, sondern notieren sie in einer Kurzschreibweise am rechten Rand, so wie wir es in Kapitel 3 gelernt haben.

1.

Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung −2x−1 = 3−5x über den rationalen Zahlen.

Die Gleichung hat also genau eine rationale Lösung, nämlich die Zahl 4
3 .

2.

Wir bestimmen alle rationalen Lösungen der Gleichung 3x+1 = 3x+1 .

Es ist also egal, welche Zahl wir für x einsetzen, die Gleichung ist immer wahr. Das heißt jede rationale Zahl ist eine Lösung der Gleichung.

Dieses Ergebnis kann man schon an der ursprünglichen Gleichung 3x+1 = 3x+1 ablesen: Auf beiden Seiten steht exakt das Gleiche, also ist die Gleichung immer erfüllt.

3.

Wir bestimmen alle Lösungen der Gleichung 2x−1 = 2x+3 über den rationalen Zahlen.

Es ist also egal, welche Zahl wir für x einsetzen, die Gleichung ist niemals erfüllt. Das heißt 2x−1 = 2x+3 hat keine Lösung.

5.1.2 Verallgemeinerung. Nachdem wir nun anhand von Beispielen gesehen haben, wie man lineare Gleichungen in einer Variablen löst, wollen wir das Vorgehen verallgemeinern. Sei dazu

ax+ b = cx+ d

eine beliebige lineare Gleichung in einer Variablen. Wir formen die Gleichung so um, dass wir direkt sehen können, wie viele Lösungen sie hat.

Falls a−c = 0 und d−b = 0, so ist jede beliebige Zahl eine Lösung der Gleichung. Ist a−c = 0, aber d−b≠0, so hat die Gleichung keine Lösung.

Ist hingegen a−c≠0, so dürfen wir beide Seiten der Gleichung durch a−c dividieren und erhalten

d − b x = a-−-c

Die Gleichung ist nun vollständig nach x aufgelöst. Wir sehen, dass sie in diesem Fall eine eindeutige Lösung hat und können diese auch direkt ablesen, nämlich da−−bc

5.1.3 Definition und Beispiel. Die Menge aller Lösungen einer Gleichung wird auch als die Lösungsmenge der Gleichung bezeichnet. In Beispiel 5.1.1 haben wir folgende Lösungsmengen:

1.: Die Lösungsmenge L der Gleichung −2x−1 = 3−5x hat exakt ein Element, nämlich , das heißt L = {}.
2.: Die Lösungsmenge L der Gleichung 3x+1 = 3x+1 über den rationalen Zahlen ist die gesamte Menge der rationalen Zahlen, das heißt L = ℚ.
3.: Die Lösungsmenge L der Gleichung 2x−1 = 2x+3 ist leer, das heißt L = ∅ = {}.

5.1.4 Aufgabe. Bestimme alle rationalen Lösungen der folgenden Gleichungen. Gib auch die Lösungsmenge an.

(a): 3 = 2x + 1
(b): x - 3 = - 3 + x
(c): -2x + 4 = 7 - 2x
(d): 3x + 2 = x - 2

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