10.2.5 Definition. Es sei f : D→ ℝ eine Funktion und a∉D der Grenzwert einer Folge (x_n) ⊆D. Existiert der Grenzwert lim_x→af(x) =: c ∈ ℝ, so ist die Funktion

stetig in a. Wir nennen diese Funktion auch die stetige Fortsetzung von f in a. Zudem nennen wir f stetig fortsetzbar nach a. Des Weiteren bezeichnen wir a als eine stetig behebbare Definitionslücke von f.

10.2.6 Beispiel. Die Funktion

ist auf ihrem gesamten Definitionsbereich stetig. An der Stelle x = 2 ist f nicht definiert, da dort der Nenner x−2 gleich 0 werden würde. Betrachtet man den Graphen der Funktion (siehe Bild unten), so lässt sich bereits vermuten, dass x = 2 eine stetig behebbare Definitionslücke ist. In der Tat gilt für alle x≠2: Demnach existiert der Grenzwert von f für x gegen 2. Genauer gesagt, gilt Die stetige Fortsetzung von f ist nichts weiter als die Funktion Die Graphen von f und g stimmen, bis auf den Punkt (2,1) überein.