2 Lösung (zu Aufgabe 5.2.5).

1.

Aufgabentext: “Welche der folgenden Abbildungen sind lineare Funktionen?”

(a)

nicht-linear

(b)

linear

(c)

linear; genauer gesagt eine konstante Funktion

(d)

nicht-linear

(e)

linear; genauer gesagt eine proportionale Funktion

(f)

nicht-linear, da x⋅(x+1) = x² +x

2.

Aufgabentext: “Welche der folgenden linearen Funktionen sind konstante oder proportionale Funktionen?”

(a)

konstant

(b)

weder konstant noch proportional

(c)

proportional

(d)

konstant

(e)

weder konstant noch proportional

(f)

weder konstant noch proportional

3.

Aufgabentext: “Gib zu jeder der folgenden linearen Gleichungen eine lineare Funktion f an, für die jedes Paar (r,f(r)) mit r ∈ ℝ die Gleichung erfüllt.” Um die Aufgabe zu lösen müssen wir die Gleichungen jeweils nur nach y auflösen, um eine passende Funktionsvorschrift zu erhalten.

(a)

Wir lösen die Gleichung 2x−y+3 = x+1 nach y auf:

Also sind alle Paare (r,r+2) mit r ∈ ℝ Lösungen der Gleichung 2x−y+3 = x+1. Das heißt, die Funktion f :  ℝ → ℝ, x↦x+2 hat die im Aufgabentext geforderten Eigenschaften.

(b)

Wir lösen die Gleichung x+y+1 = x−y+3 nach y auf:

Die Gleichung x+y+1 = x−y+3 ist also erfüllt wann immer y = 1 gilt. Dementsprechend sind alle Paare (r,1) mit r ∈ ℝ Lösungen der Gleichung. Also hat die konstante Funktion f :  ℝ → ℝ, x↦1 die im Aufgabentext geforderten Eigenschaften.

(c)

Wir lösen die Gleichung 6x+ = −2x++4y nach y auf:

Damit ist für alle r ∈ ℝ das Paar (r,2r) eine Lösung der Gleichung 6x+ = −2x++4y. Daher hat die Funktion f :  ℝ → ℝ, x↦2x die im Aufgabentext geforderten Eigenschaften.