Zu Abschnitt 9.6 Bestimmte Divergenz und uneigentliche Grenzwerte

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13.1.6 Zu Abschnitt 9.6 Bestimmte Divergenz und uneigentliche Grenzwerte

47 Lösung (zu Aufgabe 9.6.12).

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

a_n = n²	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n =	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n = 3n+2	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n = −	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n = sin(n)	divergiert, aber nicht bestimmt
a_n = −3n+(−1)ⁿ⋅n	divergiert bestimmt gegen −∞
a_n = 2ⁿ	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n =	konvergiert gegen 1
a_n = 2⁻ⁿ	konvergiert gegen 0
a_n = (−2)ⁿ	divergiert, aber nicht bestimmt
a_n = −2ⁿ	divergiert bestimmt gegen −∞
a_n = (−2)⁻ⁿ	konvergiert gegen 0

2.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

a_n =	konvergiert gegen 1
a_n =	konvergiert gegen 0
a_n =	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n =	konvergiert gegen 1
a_n =	divergiert bestimmt gegen −∞
a_n =	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n =	divergiert bestimmt gegen ∞
a_n =	konvergiert gegen 0
a_n =	konvergiert gegen

Um auch zu zeigen, dass die jeweiligen Folgen tatsächlich divergieren, kann man sich hier immer des gleichen Tricks behelfen. Wir demonstrieren dies am Beispiel der Folge (a_n)_n∈ℕ mit

3 2 an = −-n-+-n 3n2− 1

Für n ∈ ℕ gilt:

− n3+ n2 n2⋅(− n + 1) − n +1 1 1 an = ---2---- = -2-(----1)- = ----1- = (− n)⋅----1-+ ----1- 3n − 1 n ⋅ 3 − n2 3− n2 3− n2 3− n2

Da die Folge

( ) --1--- 3− n12 n∈ℕ

für n →∞ gegen

konvergiert, dürfen wir die Grenzwertsätze 9.6.9 für uneigentliche Grenzwerte benutzen. Es folgt, dass (a_n)_n∈ℕ bestimmt gegen −∞ divergiert.

Wir können dies mit den formalen Rechenregeln aus Bemerkung 9.6.10 auch wie folgt ausdrücken:

a = (− n)⋅--1---+ --1--- −−n−→− −∞−→ ∞ ⋅ 1+ 1-= ∞ n 3− n12 3− 1n2 3 3

In Worten ausgedrückt, überwiegt der Einfluss von −n beziehungsweise −n³ im Zähler. Die Folge divergiert daher bestimmt gegen −∞.

3.

Wir geben jeweils den (eigentlichen oder uneigentlichen) Grenzwert an:

(a): lim = ∞
(b): lim = ∞
(c): lim = 0
(d): lim = 0
(e): lim = ∞
(f): lim = ∞
(g): lim = ∞
(h): lim = ∞
(i): lim = 0
(j): lim = 0
(k): lim = 0
(l): lim = ∞
(m): lim = ∞
(n): lim = ∞

48 Lösung (zu Aufgabe 9.6.13).

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

(a): a_n = n⋅(−1)ⁿ ist unbeschränkt, aber nicht bestimmt divergent.
(b): a_n = 3− ist monoton, aber nicht bestimmt divergiert.
(c): a_n = n+(−1)ⁿ⋅3 ist bestimmt divergiert, aber nicht monoton.

2.

Wir geben jeweils zwei Folgen (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ an, für die sowohl lima_n = ∞ und limb_n = 0, als auch die jeweilige Bedingung an lim(a_n⋅b_n) erfüllt ist:

(a): Es sei a_n = n² und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) lim (a ⋅b) = lim n2 ⋅ 1 = lim (n) = ∞ n n n$
(b): Es sei a_n = −n² und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( 1) lim(an⋅bn) = lim − n2⋅-- = lim (− n) = − ∞ n$
(c): Es sei a_n = n und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( ) -1 1- lim (an⋅bn) = lim n⋅n2 = lim n = 0$
(d): Es sei a_n = n und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( 1408) lim (an ⋅bn) = lim n ⋅----- = lim(1408) = 1408 n$
(e): Es sei a_n = 255⋅n und b_n = − für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) lim (an ⋅bn) = lim 255 ⋅n⋅ −-1 = lim (− 255) = − 255 n$

3.

Wir geben jeweils zwei bestimmt divergente Folgen (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ an, welche die genannte Bedingung erfüllen:

(a): Es sei a_n = n² und b_n = n für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( 2) lim an = lim n- = lim (n) = ∞ bn n$
(b): Es sei a_n = −n² und b_n = n für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( a ) ( − n2 ) lim -n = lim ---- = lim (− n) = − ∞ bn n$
(c): Es sei a_n = n und b_n = n² für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( ) an ( n-) 1- lim b = lim n2 = lim n = 0 n$
(d): Es sei a_n = π ⋅n und b_n = −n für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( ) lim an = lim π⋅n- = lim (− π) = − π bn − n$

4.

Wir geben jeweils zwei Nullfolgen (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ an, welche die genannte Bedingung erfüllen:

(a): Es sei a_n = und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( 1 ) ( 2) lim an = lim -n = lim 1⋅ n = lim (n) = ∞ bn 1n2- n 1$
(b): Es sei a_n = − und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( 1 ) ( 2) lim an = lim −n- = lim − 1-⋅ n = lim (− n) = − ∞ bn n12 n 1$
(c): Es sei a_n = und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( 1 ) ( ) ( ) an n2 1- n- 1- lim bn = lim 1 = lim n2 ⋅1 = lim n = 0 n$
(d): Es sei a_n = − und b_n = für alle n ∈ ℕ. Dann gilt $( ) ( ) ( ) an −-1n 1- π-⋅n lim bn = lim -1- = lim −n ⋅ 1 = lim (− π ) = − π π⋅n$

49 Lösung (zu Aufgabe 9.6.14).

1.

Zu zeigen: jede bestimmt divergente Folge reeller Zahlen ist unbeschränkt. Dazu sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge, die bestimmt gegen ∞ divergiert. Dann folgt direkt aus der Definition von Divergenz, dass wir für jede vermeintliche obere Schranke S ∈ ℝ einen Index n₀ ∈ ℕ finden, für den a_n₀ > S gilt. Demnach kann S keine obere Schranke sein. Also ist (a_n) nicht nach oben beschränkt.

Für Folgen, die bestimmt gegen −∞ divergieren können wir ein ähnliches Argument benutzen. Hier finden wir zu jeder vermeintlichen unteren Schranke s ∈ ℝ einen Index n₀ ∈ ℕ finden, für den a_n₀ < s gilt.

2.

Zu zeigen: jede unbeschränkte, monotone Folge reeller Zahlen ist bestimmt divergent. Dazu sei (a_n)_n∈ℕ beschränkt und monoton. Wir unterscheiden zwei Fälle.

Fall 1: die Folge (a_n) ist nach oben unbeschränkt und monoton. Genauer gesagt, muss (a_n) dann monoton wachsend sein, denn wäre sie monoton fallend, so wäre sie durch a₁ nach oben beschränkt. Wir zeigen nun, dass die Folge bestimmt gegen ∞ divergiert: es sei r ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl. Da (a_n) nicht nach oben beschränkt ist, existiert ein Index n₀, für den a_n₀ > r gilt. Da (a_n) aber auch monoton wachsend ist, gilt a_n ≥ a_n₀ > r für alle n ≥ n₀.

Fall 2: die Folge (a_n) ist nach unten unbeschränkt und monoton fallend. Es sei r ∈ ℝ wieder eine beliebige reelle Zahl. Da (a_n) nicht nach unten beschränkt ist, existiert ein Index n₀, für den a_n₀ < r gilt. Da (a_n) aber auch monoton fallend ist, gilt a_n ≤ a_n₀ < r für alle n ≥ n₀.

3.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge, die bestimmt divergiert. Zu zeigen: dann ist auch die Folge (|a_n|)_n∈ℕ bestimmt divergent.

Fall 1: (a_n)_n∈ℕ divergiert bestimmt gegen ∞. Insbesondere gibt es dann einen Index n₀, für den a_n > 0 für alle n ≥ n₀. Das heißt, es gilt a_n = |a_n| für fast alle n. Da (a_n) gegen ∞ divergiert, divergiert auch |a_n| gegen ∞.

Fall 2: (a_n)_n∈ℕ divergiert bestimmt gegen −∞. Insbesondere gibt es dann einen Index n₀, für den a_n < 0 für alle n ≥ n₀. Das heißt, es gilt −a_n = |a_n| für fast alle n. Da (a_n) gegen −∞ divergiert, divergiert (−a_n) und damit auch die Betragsfolge |a_n| gegen ∞.

4.

Es seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ Folgen reeller Zahlen. Des Weiteren sei (b_n) bestimmt divergent. Zu zeigen:

(a): Ist limb_n = ∞ und gilt fast immer a_n ≥ b_n, so ist auch a_n bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert ∞.
(b): Ist limb_n = −∞ und gilt fast immer a_n ≤ b_n, so ist auch a_n bestimmt divergent mit uneigentlichem Grenzwert −∞.

Die beiden Aussagen lassen sich komplett analog beweisen (das heißt, die Beweise der beiden Aussagen unterscheiden sich nur marginal). Wir führen trotzdem beide Beweise aus:

(a): Es sei limb_n = ∞ und es gelte fast immer a_n ≥ b_n. Dann gibt es einen Index n₁ für den a_n ≥ b_n für alle n ≥ n₁. Ist nun r ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl, so existiert ein Index n₂ mit b_n > r für alle n ≥ n₂.
Definieren wir nun n₀ als die größere der beiden Zahlen n₁ und n₂, so gilt a_n ≥b_n > r für alle n ≥ n₀. Also divergiert auch a_n bestimmt gegen ∞.
(b): Nun sei limb_n = −∞. Zudem gelte fast immer a_n ≤ b_n, das heißt, es gibt einen Index n₁ für den a_n ≤ b_n für alle n ≥ n₁. Ist nun r ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl, so existiert ein Index n₂ mit b_n < r für alle n ≥ n₂.
Definieren wir nun n₀ als die größere der beiden Zahlen n₁ und n₂, so gilt a_n ≤b_n < r für alle n ≥ n₀. Also divergiert auch a_n bestimmt gegen −∞.

5.

Wir werden hier ebenfalls nur zwei der Aussagen in Satz 9.6.9 beweisen, da die jeweils zugrunde liegenden Ideen sich sehr ähnlich sind. Es sei also (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge mit Grenzwert a. Zudem seien (b_n)_n∈ℕ und (c_n)_n∈ℕ bestimmt divergente Folgen mit uneigentlichem Grenzwert ∞.

Wir zeigen, dass a_n+b_n −−−→ ∞ für n →∞. Dazu sei r ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl. Da limb_n = ∞, und lima_n = a existiert ein gemeinsamer Index n₀, so dass a_n > a−1 und b_n > r−(a−1) für alle n ≥ n₀. Dann gilt auch

an+ bn > a − 1 + bn > a− 1 + r− (a − 1)= r

für alle n ≥ n₀. Also divergiert die Folge (a_n+b_n)_n∈ℕ bestimmt gegen ∞.

Nun zeigen wir noch, dass c_n⋅b_n −−−→ ∞ für n →∞. Dazu sei r ∈ ℝ eine beliebige reelle Zahl. Da limb_n = ∞, und limc_n = ∞ existiert ein gemeinsamer Index n₀, so dass b_n > |r| und c_n > 1. Dann gilt auch

c ⋅b > 1 ⋅|r|= |r|≥ r n n

für alle n ≥ n₀. Also hat auch die Folge (c_n ⋅b_n)_n∈ℕ den uneigentlichen Grenzwert ∞.

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