41 Lösung (zu Aufgabe 9.5.6).

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

2.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

42 Lösung (zu Aufgabe 9.5.10).

1.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Differenz d. Aus Aufgabe 9.4.6, Teilaufgabe 4, wissen wir schon, dass Folgendes gilt:

• Ist d > 0, so ist (a_n) nach unten beschränkt, aber nicht nach oben beschränkt.
• Ist d = 0, so ist (a_n) konstant und damit beschränkt.
• Ist d < 0, so ist (a_n) nach oben beschränkt, aber nicht nach unten beschränkt.

Wir wissen bereits, dass konstante Folgen konvergieren. Zudem sind nach Satz 9.5.8 alle konvergenten Folgen beschränkt. Anders ausgedrückt, können unbeschränkte Folgen nicht konvergent sein. Daraus ergibt sich:

• Ist d > 0, so ist (a_n) divergent.
• Ist d = 0, so ist (a_n) konvergent.
• Ist d < 0, so ist (a_n) divergent.

2.

Wir geben zwei Beispiele für Folgen, die zwar beschränkt sind, aber nicht konvergieren:

(a)

Die alternierende Folge _n∈ℕ ist zwar beschränkt, aber nicht konvergent.

(b)

Die Folge (sin(n))_n∈ℕ ist ebenfalls beschränkt, aber nicht konvergent.

43 Lösung (zu Aufgabe 9.5.15).

1.

Für den Beweis der Aussage sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Wir setzen δ = . Da dann δ > 0 ist, (a_n) den Grenzwert a und (b_n) den Grenzwert b hat, finden wir Indizes n_a und n_b, so dass gilt: |a_n−a| < δ für alle n ≥ n_a, beziehungsweise |b_n−b| < δ für alle n ≥ n_b. Setzen wir nun n₀ gleich der größeren der beiden Zahlen n_a und n_b, so erhalten wir für alle n ≥ n₀:

Wir haben also zu einem beliebig vorgegebenen ϵ > 0 einen passenden Index n₀ gefunden. Demnach konvergiert die Folge (a_n−b_n)_n∈ℕ gegen die Zahl a−b.

2.

Wir sollen die gegebenen Folgen auf Konvergenz untersuchen. Dazu werden wir oft die Grenzwertsätze 9.5.12 anwenden. Dabei gilt es zu beachten, dass wir diese Sätze nur anwenden dürfen, wenn die betrachtete Folge (a_n)_n∈ℕ aus konvergenten Folgen zusammengesetzt ist.

(a)

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = 1+ setzt sich aus den konvergenten Folgen (1)_n∈ℕ und _n∈ℕ zusammen. Laut dem Grenzwertsatz für Summen konvergenter Folgen gilt: Also ist die betrachtete Folge konvergent und hat den Grenzwert 1.

(b)

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = −+ ist eine Summe aus konvergenten Folgen. Es gilt daher:

Die Folge konvergiert also gegen .

(c)

Bei der Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = , müssen wir zunächst die Berechnungsvorschrift umformen: Nun können wir den Grenzwert mittels der Grenzwertsätze berechnen: Also konvergiert (a_n) gegen 1.

(d)

Bei der Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = , formen wir auch zunächst die Berechnungsvorschrift um: für n ≥ 1 gilt Hier sind sowohl Zählerfolge, als auch Nennerfolge konvergent. Daher gilt: Also konvergiert (a_n)_n∈ℕ gegen .

(e)

Bei der Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = , verwenden wir den gleichen Trick: Hier konvergieren wieder Zähler- und Nennerfolge. Daher gilt: Die Folge (a_n)_n∈ℕ konvergiert also gegen 0.

(f)

Wir wollen einsehen, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = divergiert. Dazu schätzen wir sie nach unten durch eine Folge ab, von der wir wissen, dass sie nicht nach oben beschränkt ist: für n ≥ 2 gilt Da die Folge _n∈ℕ nicht nach oben beschränkt ist, kann auch (a_n) nicht nach oben beschränkt sein. Nach Satz 9.5.8 folgt daraus, dass (a_n) divergiert.

(g)

Bei der Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = gehen wir ähnlich vor: für große n gilt Da die Folge _n∈ℕ nicht nach oben beschränkt ist, kann auch (a_n) nicht nach oben beschränkt sein. Nach Satz 9.5.8 folgt daraus, dass (a_n) divergiert.

(h)

Bei der Folge (a_n)_n∈ℕ mit a_n = , formen wir wieder zunächst die Berechnungsvorschrift um: für n ≥ 1 gilt Hier sind sowohl Zählerfolge, als auch Nennerfolge konvergent. Daher gilt: Also konvergiert (a_n)_n∈ℕ gegen .

44 Lösung (zu Aufgabe 9.5.18). Die Umkehrung des Betragssatzes 9.5.17 gilt nicht. Als Gegenbeispiel betrachten wir die alternierende Folge (a_n)_n∈ℕ mit

für alle n ∈ ℕ. Dann gilt für alle n∈ ℕ. Die Betragsfolge (|a_n|)_n∈ℕ ist also konstant und damit insbesondere konvergent. Die Folge (a_n)_n∈ℕ hingegen ist nicht konvergent.

45 Lösung (zu Aufgabe 9.5.20). Wir wollen zeigen, dass man im Vergleichssatz 9.5.19 die Abschätzung a ≤ b nicht durch a < b ersetzen kann. Dazu betrachten wir die Folgen

• (a_n)_n∈ℕ mit a_n = −, und
• (b_n)_n∈ℕ mit b_n = .

Für alle n ∈ ℕ gilt

Dennoch haben beide Folgen denselben Grenzwert, nämlich 0:

46 Lösung (zu Aufgabe 9.5.28). Wir betrachten wieder die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit

Wir wollen sie nun auf Konvergenz untersuchen.

1.

Aus Aufgabe 9.3.4 wissen wir, dass die Folge streng monoton wachsend ist. Zudem haben wir in Aufgabe 9.4.6 gezeigt, dass sie beschränkt ist. Nach Satz 9.5.26 muss die Folge dann auch konvergent sein.

2.

Wir wollen nun zeigen, dass die Folge gegen 9 konvergiert. Da a_n ≥ 0 für alle n, dürfen wir den Wurzelsatz 9.5.16 anwenden. Das heißt, es gilt Daraus ergibt sich: Der Übersichtlichkeit halber setzen wir a = lima_n und führen dann einige Umformungen an obiger Gleichung durch:

Also muss gleich + = = 3 oder gleich − = − = −2 sein. Das bedeutet, der Grenzwert lima_n = a = ² muss entweder 9 oder 4 sein. Da aber a_n = 6+ ≥ 6 für alle n ≥ 2 gilt, kann 4 nicht der Grenzwert von (a_n)_n∈ℕ sein. Also muss die Folge gegen 9 konvergieren.

Mit Hilfe der Resultate aus den Aufgaben 9.3.4 und 9.4.6 ergibt sich zudem Folgendes:

• Wählen wir das Anfangsglied a₁ = 9, so ist die Folge konstant und damit insbesondere konvergent mit Grenzwert 9.
• Wählen wir das Anfangsglied a₁ = 16, so ist die Folge streng monoton fallend und beschränkt. Nach Satz 9.5.26 ist (a_n)_n∈ℕ daher auch in diesem Fall konvergent. Mit ähnlichen Überlegungen wie im Fall a₁ = 1, können wir auch hier zeigen, dass 9 der Grenzwert ist.