Beweis. Es sei (a
n)
n∈ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen. Zudem seien a,b ∈ ℝ Grenzwerte von
(a
n). Wir müssen zeigen, dass dann die beiden Zahlen a und b übereinstimmen. Anders
ausgedrückt, müssen wir zeigen, dass der Abstand |a−b| gleich 0 ist.
Zu diesem Zweck sei δ > 0 eine beliebig gewählte reelle Zahl. Wir setzen ϵ := 
⋅δ. Da a
Grenzwert von (an) und ϵ > 0 ist, gibt es einen Index na, so dass Folgendes gilt:
Da
aber auch b Grenzwert von (a
n) ist, gibt es einen Index n
b, so dass Folgendes gilt:
Definieren wir nun k als die größere der beiden Zahlen n
a und n
b, so gilt sowohl |a
k−a| < ϵ, als auch
|a
k−b| < ϵ. Daraus ergibt sich
Insbesondere gilt
Zusammenfassend heißt das, dass der Abstand |a−b| kleiner ist als jede beliebige Zahl δ > 0. Das
bedeutet, dass der Abstand ≤ 0 sein muss. Andererseits ist der Abstand zwischen zwei Zahlen auch
immer ≥ 0. Also muss |a−b| = 0 gelten.
Beweis. Es sei (a
n)
n∈ℕ eine konvergente Folge reeller Zahlen. Nach Satz
9.4.4 reicht
es zu zeigen, dass es eine reelle Zahl M mit der Eigenschaft gibt, dass |a
n|≤ M für alle
n ∈ ℕ.
Dazu sei a der Grenzwert der Folge (an). Dann gibt es einen Index n0 mit der Eigenschaft, dass
|an−a| < 1 für alle n ≥ n0. Wir definieren M als die größte der Zahlen |a1|, |a2|, …, |an0−1|,1+|a|.
Dann folgt, dass
für
alle n ≥ n
0 gilt. Also wissen wir schon, dass alle Folgenglieder ab dem Index n
0 kleiner sind als M.
Gemäß unserer Wahl von M gilt aber auch für n = 1,2,…,n
0 −1, dass
Also
ist die Folge (a
n)
n∈ℕ beschränkt.
9.5.9 Bemerkung. Satz 9.5.8 besagt, dass jede konvergente Folge auch beschränkt ist.
Umgekehrt gilt also, dass jede unbeschränkte Folge keinen Grenzwert haben kann. Dies
kann man sich zu Nutze machen, um nachzuweisen, dass eine Folge keinen Grenzwert hat.
Beispielsweise sind die Folgen (−n)n∈ℕ, (n2)n∈ℕ, (2n)n∈ℕ und (2−3n)n∈ℕ alle unbeschränkt
und daher nicht konvergent.
