Rechenregeln

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9.5.2 Rechenregeln

Wir haben schon öfter von “fast allen” Gliedern einer Folge gesprochen. Nun wollen wir diese Idee mathematisch exakt definieren.

9.5.11 Definition. Wir sagen, eine Aussage gilt für fast alle Glieder einer Folge (a_n)_n∈ℕ, wenn es einen Index n₀ gibt, so dass die Aussage für alle a_n mit n ≥ n₀ gilt. In Worten heißt “fast alle” also “alle bis auf endlich viele”.

Der Einfachheit halber sagen wir auch, dass eine Aussage über die Glieder einer Folge fast immer gilt, wenn sie für fast alle Glieder der Folge gilt.

9.5.12 Satz (Grenzwertsätze). Es seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen mit den Grenzwerten a beziehungsweise b. Dann konvergieren auch die Folgen (a_n+b_n), (a_n−b_n) und (a_n⋅b_n). Genauer gesagt gilt:

Ist zudem b≠0, so gilt fast immer b_n≠0 und es konvergiert auch die Folge ( an
bn )_n≥k, wobei k so gewählt ist, dass b_n≠0 für alle n ≥ k. Genauer gesagt gilt:

an n → ∞ a -- −−−−−−→ -- bn b

9.5.13 Bemerkung. Die Aussagen aus Satz 9.5.12 findet man häufig in Form folgender Rechenregeln wieder:

Die Gleichungen sind dabei so zu verstehen: Wenn die Grenzwerte auf der rechten Seite existieren, dann existiert auch der Grenzwert auf der linken Seite und es gilt die angegebene Gleichheit. Bei der Rechenregel für Quotienten muss zusätzlich limb_n≠0 gelten.

Beweis.

1.

Für den Beweis der Aussage a_n+b_n n→ ∞
−−−− −−→

a+b sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Wir müssen zeigen, dass es ein n₀ gibt, so dass

|(an+ bn)− (a+ b)|< ϵ

für alle n ≥ n₀.

Dazu setzen wir δ := ϵ
2 . Da dann δ > 0 ist, (a_n) den Grenzwert a und (b_n) den Grenzwert b hat, finden wir Indizes n_a und n_b, so dass gilt:

|an − a| < δ für alle n ≥ na und |bn− b|< δ für alle n ≥ n b

Setzen wir nun n₀ gleich der größeren der beiden Zahlen n_a und n_b, so erhalten wir für alle n ≥ n₀:

ϵ- ϵ- |(an+ bn)− (a+ b)|= |(an − a)+ (bn − b )|≤ |an− a|+ |bn− b|< δ + δ = 2 + 2 = ϵ

Wir haben also zu einem beliebig vorgegebenen ϵ > 0 einen passenden Index n₀ gefunden. Demnach konvergiert die Folge (a_n+b_n)_n∈ℕ gegen die Zahl a+b.

2.

Der Beweis für die Aussage über (a_n−b_n)_n∈ℕ funktioniert fast genauso und wird in die Aufgaben verschoben.

3.

Wir zeigen nun die Aussage über (a_n⋅b_n)_n∈ℕ. Dazu sei wieder ϵ > 0 vorgegeben. Da die Folge (a_n) konvergiert, ist sie nach Satz 9.5.8 beschränkt. Das heißt, es gibt ein S > 0, so dass |a_n|≤ S für alle n ∈ ℕ.

Wir definieren M als die größere der beiden Zahlen S und |b|. Des Weiteren setzen wir

δ := -ϵ--- 2⋅M

Da dann δ > 0 ist, (a_n) den Grenzwert a und (b_n) den Grenzwert b hat, finden wir Indizes n_a und n_b, so dass gilt: |a_n −a| < δ für alle n ≥ n_a, beziehungsweise |b_n −b| < δ für alle n ≥ n_b. Wir definieren n₀ wieder als die größere der beiden Zahlen n_a und n_b.

Schließlich gilt Folgendes für alle n ≥ n₀:

Zu einem beliebig vorgegebenen ϵ > 0 gibt es also einen Index n₀, so dass

|an⋅bn− a⋅b|< ϵ

für alle n ≥ n₀. Demnach konvergiert die Folge (a_n⋅b_n)_n∈ℕ gegen die Zahl a⋅b.

4.

Ein ausführlicher Beweis der letzten Aussage wäre unnötig kompliziert. Wir präsentieren hier daher nur eine Zusammenfassung.

(a): Da b≠0, gibt es einen Index k, so dass b_n≠0 für alle n ≥ k.
(b): Da zudem b_n gegen b konvergiert, gibt es einen Index l, so dass für alle n ≥ l die Ungleichung |b_n| > |b|− = erfüllt ist.
(c): Wir definieren M als und δ als .
(d): Es gibt Indizes n_a und n_b, so dass gilt: |a_n−a|<δ für alle n≥n_a, beziehungsweise |b_n−b| < δ für alle n ≥ n_b.
(e): Setze n₀ gleich der größten der Zahlen k, l, n_a und n_b.

Dann gilt für alle n ≥ n₀:

Das heißt, die Folge ( )
an
bn _n∈ℕ konvergiert gegen a
b .

9.5.14 Beispiel. Die Grenzwertsätze sind von großem Nutzen, wenn man komplizierte Folgen auf Konvergenz untersucht: Ist eine Folge aus anderen Folgen zusammengesetzt, deren Grenzwerte man bereits kennt, so lässt sich oft auch leicht der Grenzwert der zusammengesetzten Folge bestimmen, sofern er existiert. Dies wollen wir nun demonstrieren.

Wir kennen bisher nur die Grenzwerte von konstanten Folgen und den Grenzwert der harmonischen Folge (siehe Beispiel 9.5.5). Mit diesem Wissen können wir aber schon so einiges anstellen.

1.: Wir betrachten zuerst die Folge (a_n)_n∈ℕ mit $1 an = n2$ Da wir schon wissen, dass die harmonische Folge ()_n∈ℕ gegen 0 konvergiert, ergibt sich mit Hilfe des Grenzwertsatzes über Produkte von Folgen: $( 1 ) ( 1 1 ) ( 1) ( 1 ) lim -2 = lim -⋅-- = lim -- ⋅ lim -- = 0⋅0 = 0 n n n n n$ Also konvergiert auch (a_n) gegen 0.
Allgemeiner kann man auf diese Weise zeigen, dass für eine beliebige ganze Zahl k ≥ 1 gilt:
$1- n→ ∞ nk−−−− −−→ 0$
2.: Betrachten wir nun die Folge (a_n)_n∈ℕ mit $9 7 an = 6 −--+ --2 5n 8n$ Zunächst benutzen wir den Grenzwertsatz für Produkte von Folgen, um die Grenzwerte von zwei der drei Summanden zu untersuchen. Es gelten $( ) ( ) ( ) ( ) lim -9- = lim 9⋅ 1 = lim 9- ⋅ lim 1- = 9⋅0 = 0 5n 5 n 5 n 5$ und $( 7 ) ( 7 1 ) ( 7) ( 1 ) 7 lim --2 = lim --⋅-2 = lim -- ⋅ lim -2 = --⋅0 = 0 8n 8 n 8 n 8$ Nun können wir, mit Hilfe der Grenzwertsätze für Summen und Differenzen von Folgen, auch den Grenzwert von (a_n) berechnen.
3.: Wie in Beispiel 9.5.5 angekündigt, werden wir nun auch noch den Grenzwert der Folge (a_n)_n∈ℕ mit $4n2− 2n+ 5 an = ----2------ 3n − 1$ berechnen. Zunächst formen wir die Berechnungsvorschrift wieder um. $( ) 4n2−-2n+-5- n2⋅-4-−-2n +-5n2 4−-2n-+-5n2- an = 3n2− 1 = n2⋅(3− -1) = 3 − 1- n2 n2$ Der Grenzwert der Zählerfolge $( 2 5 ) ( 2) ( 5) lim 4 − -+ -2 = (lim 4)− lim -- + lim -2 = 4− 0+ 0 = 4 n n n n$ und der der Nennerfolge $( 1) ( 1) lim 3− n2 = (lim 3)− lim n2 = 3 − 0 = 3$ lassen sich mit Hilfe der Grenzwertsätze bestimmen (vergleiche Teilbeispiel 2). Da der Grenzwert der Nennerfolge von 0 verschieden ist, dürfen wir nun den Grenzwertsatz über Quotienten von Folgen anwenden und erhalten: $( 2 -5) ( 2 5) lim an = lim 4-−-n +-n2 = lim--4(−-n +-n2)-- = 4- 3 − 1n2- lim 3 − 1n2 3$

9.5.15 Aufgabe.

1.

Beweise die zweite Aussage von Satz 9.5.12. Genauer gesagt, seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen mit den Grenzwerten a beziehungsweise b. Zeige, dass dann auch (a_n−b_n)_n∈ℕ konvergiert und den Grenzwert a−b hat.

2.

Untersuche die Folge (a_n)_n∈ℕ auf Konvergenz und bestimme gegebenenfalls ihren Grenzwert. Lege dabei folgende Berechnungsvorschriften zugrunde:

(a): a_n = 1+
(b): a_n = −+
(c): a_n =
(d): a_n =
(e): a_n =
(f): a_n =
(g): a_n =
(h): a_n =

Dies sind dieselben Folgen wie in Aufgabe 9.5.6. Hast du mit deinen Vermutungen dort richtig gelegen?

9.5.16 Satz (Wurzelsatz). Es sei (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a. Gilt a ≥ 0 und a_n ≥ 0, für alle n ∈ ℕ, so konvergiert auch die Folge (√--)
an _n∈ℕ und zwar gegen √--
a .

Beweis. Es sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Dann unterscheiden wir zwei Fälle.

1.: Ist a = 0, so setzen wir δ := ϵ². Da (a_n)_n∈ℕ gegen a konvergiert, gibt es einen Index n₀, so dass für alle n ≥ n₀ gilt: $|an|= |an− 0|= |an− a|< δ$ Dann gilt für alle n ≥ n₀ auch: $-- -- |√an-− √a-|= |√an-− 0|= √an- = ∘ |an|< √ δ = √ ϵ2 = |ϵ|= ϵ$
2.: Ist a > 0, so setzen wir δ := ϵ ⋅. Da (a_n)_n∈ℕ gegen a konvergiert, gibt es einen Index n₀, so dass für alle n ≥ n₀ gilt: |a_n−a| < δ. Daraus folgt:

Demnach konvergiert die Folge (√ --)
an _n∈ℕ in beiden Fällen gegen √ --
a .

9.5.17 Satz (Betragssatz). Es sei (a_n)_n∈ℕ eine konvergente Folge mit dem Grenzwert a. Dann konvergiert auch die Folge (|an|) _n∈ℕ und zwar gegen |a|.

Beweisidee.

1.: Ist a = 0, so sei ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Da (a_n) gegen a = 0 konvergiert, gibt es einen Index n₀, so dass für alle n ≥ n₀ gilt: $|an|= |an− 0|= |an− a|< ϵ$ Also muss auch (|a_n|)_n∈ℕ gegen 0 konvergieren.
2.: Es sei nun a≠0. Da (a_n) gegen a konvergiert, gibt es einen Index n₁, so dass für alle n ≥ n₁ gilt: $|an− a|< |a|$ Anschaulich ausgedrückt bedeutet dies, dass a_n und a dasselbe Vorzeichen haben. Daraus folgt, dass für alle n ≥ n₁ gilt: $|| || ||an|− |a||= |an− a|$ Sei nun ϵ > 0 beliebig vorgegeben. Nach Voraussetzung gibt es einen Index n₂, so dass für alle n ≥ n₂ gilt: $|an − a|< ϵ$ Definieren wir nun n₀ als die größere der beiden Zahlen n₁ und n₂, so gilt für alle n ≥ n₀: $| | |||an|− |a|||= |an− a|< ϵ$ Also konvergiert die Betragsfolge (|a_n|)_n∈ℕ gegen |a|.

9.5.18 Aufgabe. Gilt auch die Umkehrung des Betragssatzes 9.5.17? Genauer gesagt, sei (a_n)_n∈ℕ eine Folge reeller. Des Weiteren sei die Betragsfolge (|a_n|)_n∈ℕ konvergent. Konvergiert dann auch (a_n)_n∈ℕ? Begründe deine Antwort, indem du die Aussage entweder beweist oder mit einem Gegenbeispiel widerlegst.

9.5.19 Satz (Vergleichssatz). Es seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen mit den Grenzwerten a beziehungsweise b. Dann gelten die folgenden Aussagen:

1.: Gilt fast immer a_n ≤ b_n, so gilt auch a ≤ b.
2.: Gilt fast immer a_n ≥ b_n, so gilt auch a ≥ b.
3.: Gilt fast immer a_n < b_n, so gilt a ≤ b.
4.: Gilt fast immer a_n > b_n, so gilt a ≥ b.

Beweis. Wir zeigen nur die erste Aussage (da die anderen, bis auf wenige Änderungen, genauso bewiesen werden können). Dazu seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen mit den Grenzwerten a beziehungsweise b. Zudem gelte fast immer a_n ≤ b_n. Wir nehmen nun an, dass a > b gilt und führen den Beweis durch Widerspruch.

Die Idee dabei ist folgende: Gilt a > b, so sind ab einem gewissen Index n₀ die Glieder der Folge (a_n) nahe genug an a und die Glieder der Folge (b_n) nahe genug an b, dass auch a_n > b_n für alle n ≥ n₀. Also gilt fast immer a_n > b_n und nicht a_n ≤ b_n. Widerspruch zur Voraussetzung. Wir verwandeln diese Idee nun in einen formal korrekten Beweis.

Wir setzen ϵ := a−b
2 . Da nach Annahme a > b ist, ist ϵ > 0. Nach Voraussetzung gilt zudem lima_n = a und limb_n = b. Also existieren Indizes n_a und n_b, so dass

|an− a|< ϵ für alle n ≥ na

und

|bn− b|< ϵ für alle n ≥ nb

Dies ist gleichbedeutend mit

− ϵ < an− a < ϵ für alle n ≥ na

und

− ϵ < bn− b < ϵ für alle n ≥ nb

Definieren wir n₀ als die größere der beiden Zahlen n_a und n_b, so gelten für alle n ≥ n₀ insbesondere

a+-b-= 2a-−-a+-b = 2a− a−-b-= a− ϵ < a 2 2 2 2 n

und

bn < ϵ+ b = a−-b-+ 2b-= a+-b 2 2 2

Setzen wir diese beiden Ungleichungen zusammen, so erhalten wir:

a +b bn < -----< an für alle n ≥ n0 2

Dies steht aber in direktem Widerspruch zur Voraussetzung, dass fast immer a_n ≤ b_n gilt.

9.5.20 Aufgabe. Laut Vergleichssatz 9.5.19 gilt für zwei konvergente Folgen (a_n) und (b_n) mit den Grenzwerten a beziehungsweise b: Ist fast immer a_n < b_n, so gilt a ≤ b.
Frage: Gilt dann nicht auch a < b? Begründe deine Antwort, indem du die Aussage entweder beweist oder mit einem Gegenbeispiel widerlegst.

9.5.21 Satz (Einschachtelungssatz). Es sei (c_n)_n∈ℕ eine Folge reeller Zahlen. Des Weiteren seien (a_n)_n∈ℕ und (b_n)_n∈ℕ konvergente Folgen, die einen gemeinsamen Grenzwert g haben. Gilt dann fast immer a_n ≤ c_n ≤ b_n, so konvergiert auch (c_n) gegen g.
Gleiches gilt, wenn fast immer a_n ≥ c_n ≥ b_n oder a_n < c_n < b_n oder a_n > c_n > b_n gilt.

Beweisidee. Nach Voraussetzung gilt fast immer a_n ≤ c_n ≤ b_n. Ziehen wir jeweils g ab, so erhalten wir:

an − g≤ cn− g ≤ bn− g

Wir unterscheiden nun drei Fälle (wobei wir zur Vereinfachung davon ausgehen, dass n immer groß genug ist, damit a_n ≤ c_n ≤ b_n tatsächlich gilt).

1.: Fall: c_n −g > 0. Dann gilt: 0 < c_n −g < b_n −g, sodass auch b_n −g > 0. Daher sind die Zahlen c_n −g und b_n −g beide positiv, entsprechen also ihrem Betrag. Die Ungleichung c_n−g ≤ b_n−g bedeutet demnach: $|cn− g|≤ |bn− g|$
2.: Fall: c_n−g < 0. Dann ist auch a_n−g < 0, sodass die Zahlen c_n−g und a_n−g beide negativ sind. Wir erhalten daher:
3.: Fall: c_n−g = 0. Da der Betrag jeder Zahl ≥ 0 ist, gilt sowohl |c_n−g| = 0 ≤|a_n−g|, als auch |c_n−g| = 0 ≤|b_n−g|.

Also gilt in jedem der drei Fälle mindestens eine der beiden Ungleichungen |c_n−g|≤|a_n−g| oder |c_n−g|≤|b_n−g| fast immer. Das heißt insbesondere, dass die Ungleichung

|cn− g|≤ |an− g|+ |bn− g|

fast immer gilt. Ist nun ϵ > 0 beliebig vorgegeben, so müssen wir n₀ einfach nur groß genug wählen, damit für alle n ≥ n₀ gilt:

|cn− g|≤ |an − g|+ |bn− g|< ϵ-+ ϵ-= ϵ 2 2

Also konvergiert auch die Folge (c_n) gegen g.

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