10.2.13 Definition (Einseitige Grenzwerte). Es seien f : D → ℝ eine Funktion und a ∈ ℝ eine reelle Zahl. Dann schreiben wir

für die Menge aller Zahlen, auf denen f definiert ist und die gleichzeitig > a sind. Lässt sich a als Grenzwert einer Folge in D_a⁺ darstellen, so schreiben wir falls für jede Folge (x_n) ⊆ D_a⁺ die gegen a konvergiert gilt: In diesem Fall nennen wir c den rechtsseitigen Grenzwert von f in a. Wir bezeichnen ihn als uneigentlich, falls c = ∞ oder c = −∞.

Analog definiert man den linksseitigen Grenzwert von f in a. Dazu müssen wir oben einfach nur D_a⁺ durch D_a⁻ := {x ∈ D∣x < a} ersetzen und schreiben dann lim_x→a⁻f(x) := c.

10.2.14 Bemerkung. Es sei f : D → ℝ eine Funktion und a ∈ D. Existieren rechtsseitiger und linksseitiger Grenzwert von f in a, so ist f genau dann stetig in a, wenn rechts- und linksseitiger Grenzwert mit dem Funktionswert f(a) übereinstimmen.