12 Lösung (zu Aufgabe 6.2.4). Um die gegebenen quadratischen Gleichungen auf Normalform zu bringen, müssen wir lediglich durch den Vorfaktor von x² teilen.

1.

Wir teilen die Gleichung 3x² +6x−12 = 0 durch 3:

2.

Die Gleichung 2x² −5x+3 = 0 teilen wir durch 2:

3.

Die Gleichung ⋅x² − ⋅x+ = 0 teilen wir durch . Das heißt, wir multiplizieren sie mit dem Kehrwert .

4.

Die Gleichung −0,2⋅x² −1,4⋅x+ = 0 teilen wir durch −0,2. Beim konstanten Term nutzen wir die Tatsache, dass : (−0,2) dasselbe ist wie ⋅(−5).

13 Lösung (zu Aufgabe 6.2.7). Wir lösen einige quadratische Gleichungen, die jeweils von einer speziellen Form sind.

1.

Wir haben die Gleichung x² −1 = 0 gegeben. Diese quadratische Gleichung lässt sich auf zwei Weisen lösen: zum Einen können wir die dritte binomische Formel verwenden, um die linke Seite der Gleichung umzuformen: Da ein Produkt zweier Zahlen genau dann 0 ist, wenn mindestens einer der Faktoren schon 0 ist, können wir die beiden Lösungen der Gleichung einfach ablesen: −1 und 1.

Zum Anderen können wir wie in Beispiel 6.2.6 beschrieben vorgehen:

2.

Lösen wir die Gleichung x² +1 = 0 nach x² auf, so erhalten wir Da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist, hat diese Gleichung keine reelle Lösung.

3.

Die Gleichung x² −5 = 0 können wir wieder nach x² auflösen und dann auf beiden Seiten die Wurzel ziehen.

Also sind und − die Lösungen dieser Gleichung.

4.

Bei der Gleichung x² +x = 0 können wir x ausklammern und erhalten Wie oben schon erwähnt, ist das Produkt zweier reeller Zahlen genau dann 0, wenn schon mindestens einer der Faktoren 0 ist. Die Gleichung hat daher die Lösungen 0 und −1.

5.

Auch bei der Gleichung x² −2x = 0 können wir x ausklammern: Sie hat also die Lösungen 0 und 2.

6.

Wir klammer auch bei der Gleichung x² −7x = 0 ein x aus: und können dann die Lösungen 0 und 7 direkt ablesen.

14 Lösung (zu Aufgabe 6.2.11). Wir sollen die gegebenen quadratischen Gleichungen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung lösen. Das allgemeine Vorgehen könnt ihr in Rezept 6.2.9 nachlesen. In Bemerkung und Definition 6.1.7 könnt ihr nochmal nachsehen, wie die quadratische Ergänzung funktioniert.

1.

Zuerst sollen wir die Gleichung x² +4x+4 = 0 lösen. Hier würden wir im Rahmen der quadratischen Ergänzung ² (das heißt 4) auf beiden Seiten hinzuaddieren. Auf der linken Seite haben wir aber schon +4 stehen, sodass wir uns die Ergänzung sparen und direkt zum Anwenden der 1. binomischen Formel übergehen können:

Die Gleichung x² +4x+4 = 0 hat also nur eine Lösung, nämlich −2.

Wir machen die Probe ob dieses Ergebnis stimmen kann, indem wir überprüfen, ob −2 die Gleichung tatsächlich löst:

2.

Auch bei der Gleichung x² −2x+1 = 0 brauchen wir keine quadratische Ergänzung mehr durchzuführen und können direkt zum Anwenden der 2. binomischen Formel übergehen:

Also hat die Gleichung x² −2x+1 = 0 genau eine Lösung, nämlich 1.

Wir machen wieder die Probe:

3.

Wir haben die Gleichung x² +4x+3 = 0 gegeben. Wie im Aufgabentext verlangt, lösen wir diese mit Hilfe der quadratischen Ergänzung:

Also hat die Gleichung die beiden Lösungen −1 und −3.

Wir machen nun noch die Probe, ob dieses Ergebnis stimmen kann, indem wir überprüfen, ob diese beiden Zahlen die Gleichung tatsächlich erfüllen: zuerst setzen wir −1 ein

und dann −3 Also sind −1 und −3 tatsächlich die beiden Lösungen der Gleichung x² +4x+3 = 0.

4.

Nun sollen wir die Gleichung x² −2x+2 = 0 lösen.

Da das Quadrat einer reellen Zahl nie negativ ist, hat diese Gleichung keine reellen Lösungen.

5.

Nun bestimmen wir die reellen Lösungen der Gleichung x² +5x−1 = 0:

Also sind und die beiden Lösungen der Gleichung.

Wir machen die Probe für :

Die Rechnungen in der Probe für die zweite Lösung sind fast genau gleich (es ändern sich effektiv nur zwei Vorzeichen). Der Vollständigkeit halber führen wir die Probe aber trotzdem aus:

Damit haben wir die Bestätigung, dass unser Ergebnis stimmt.

6.

Hier ist die Gleichung x² +3x+ = 0 gegeben.

Also hat die Gleichung die beiden Lösungen − und −.

Wir machen wieder die Probe: erst für −

und dann für − Wir sehen, dass diese beiden Zahlen tatsächlich die Gleichung x² +3x+ = 0 lösen.

7.

Nun sollen wir die Gleichung x² −x+ = 0 lösen.

Also sind und 1 die Lösungen der Gleichung x² −x+ = 0.

Wir überprüfen dies wieder durch Einsetzen: erst 1

und dann

8.

Zuletzt sollen wir die reellen Lösungen der Gleichung x² +0,2x−0,24 = 0 bestimmen.

Also sind 0,4 und −0,6 die beiden Lösungen der Gleichung x² +0,2x−0,24 = 0. Eine letzte Probe bestätigt dies:

und

15 Lösung (zu Aufgabe 6.2.13).

1.

Wir sollen die Gleichung x² +2x+1 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +2x+1 = 0 genau eine Lösung hat, nämlich x = −1. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

2.

Wir sollen die Gleichung x² +3x+2 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +3x+2 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −1 und x = −2. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

3.

Wir sollen die Gleichung x² −4x+3 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −4x+3 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 1 und x = 3. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

4.

Wir sollen die Gleichung x² +2x−8 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +2x−8 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 2 und x = −4. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

5.

Wir sollen die Gleichung x² −4x+4 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −4x+4 = 0 genau eine Lösung hat, nämlich x = 2. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

6.

Wir sollen die Gleichung x² −4 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −4 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 2 und x = −2. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

7.

Wir sollen die Gleichung x² +7x+12 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +7x+12 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −3 und x = −4. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

8.

Wir sollen die Gleichung x² +7x+10 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +7x+10 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −2 und x = −5. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

9.

Wir sollen die Gleichung x² +7x+6 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +7x+6 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −1 und x = −6. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

10.

Wir sollen die Gleichung x² −8x+15 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −8x+15 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 3 und x = 5. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

11.

Wir sollen die Gleichung x² −2x−15 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −2x−15 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −3 und x = 5. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

12.

Wir sollen die Gleichung x² +3x−28 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +3x−28 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 4 und x = −7. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

13.

Wir sollen die Gleichung x² +x−30 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +x−30 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −6 und x = 5. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

14.

Wir sollen die Gleichung x² −10x+21 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² −10x+21 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = 3 und x = 7. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

15.

Wir sollen die Gleichung x² +15x+56 = 0 lösen. Es gilt:

Also gilt auch

sodass die Gleichung x² +15x+56 = 0 genau zwei Lösungen hat, nämlich x = −7 und x = −8. Dieses Ergebnis überprüfen wir mit einer Probe:

16 Lösung (zu Aufgabe 6.2.17). Wir sollen hier dieselben Gleichungen wie in Aufgabe 6.2.11 lösen, nur dass wir dieses Mal die p-q-Formel 6.2.15 benutzen sollen. Da wir hier natürlich dieselben Lösungen erhalten wie beim ausführlichen Lösen mit Hilfe der quadratischen Ergänzung, sind auch die Berechnungen die wir in den Proben ausführen müssen exakt dieselben. Da wir diese schon in der Lösung zu Aufgabe 6.2.11 ausgeführt haben, sparen wir es uns, sie in dieser Lösung nochmals aufzuführen.

1.

Zuerst lösen wir die Gleichung x²+4x+4 = 0. Hier haben wir p = 4 und q = 4, also gilt sodass die Gleichung gemäß der p-q-Formel genau eine Lösung hat, nämlich

2.

Jetzt lösen wir die Gleichung x² −2x+1 = 0. Hier haben wir p = −2 und q = 1, also gilt sodass die Gleichung gemäß der p-q-Formel genau eine Lösung hat, nämlich

3.

Nun sollen wir die Gleichung x² +4x+3 = 0 lösen. Hier haben wir p = 4 und q = 3. Daher gilt sodass die Gleichung gemäß der p-q-Formel genau zwei Lösungen hat, nämlich und

4.

Bei der Gleichung x² −2x+2 = 0 haben wir p = −2 und q = 2. Also ist sodass die Gleichung gemäß der p-q-Formel keine Lösung hat.

5.

Hier ist die Gleichung x² +5x−1 = 0 zu lösen. Also ist p = 5 und q = −1. Es gilt sodass die Gleichung genau zwei Lösungen hat, nämlich und

6.

Nun ist die Gleichung x² +3x+ = 0 gegeben. Wir haben p = 3 und q = . Also gilt sodass auch diese Gleichung genau zwei Lösungen hat. Diese sind und

7.

Bei der Gleichung x² −x+ = 0 haben wir p = − und q = . Da hat die Gleichung genau zwei Lösungen, nämlich und

8.

Zuletzt sollen wir die Gleichung x² + 0,2x − 0,24 = 0 lösen. Hier ist p = 0,2 und q = −0,24. Da hat die Gleichung gemäß der p-q-Formel genau die beiden Lösungen und