Zu Abschnitt 10.2 Grenzwerte von Funktionen

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13.2.1 Zu Abschnitt 10.2 Grenzwerte von Funktionen

50 Lösung (zu Aufgabe 10.2.11). Wir betrachten jeweils Grenzwerte für x →∞.

1.: Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦2x und g : ℝ → ℝ,x↦−x gilt: $lxim→∞(f(x)+ g(x)) = lxim→∞(2x− x) = lx→im∞(x) = ∞$
2.: Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x und g : ℝ → ℝ,x↦−2x gilt: $xli→m∞(f (x)+ g(x)) = xli→m∞(x− 2x) = lxim→∞(− x) = − ∞$
3.: Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x und g : ℝ → ℝ,x↦−x gilt: $lix→m∞(f(x)+ g(x)) = lx→im∞(x− x) = xli→m∞(0) = 0$
4.: Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x+1408 und g : ℝ → ℝ,x↦−x gilt: $xli→m∞(f (x)+ g(x)) = xli→m∞(x+ 1408− x) = xli→m∞(1408) = 1408$
5.: Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x und g : ℝ → ℝ,x↦−x−255 gilt: $xli→m∞ (f (x)+ g(x)) = xli→m∞(x − x− 255) = xli→m∞(− 255) = − 255$

51 Lösung (zu Aufgabe 10.2.12).

1.

Wir betrachten jeweils Grenzwerte für x →∞. Für die betrachteten Funktionen f und g gilt jeweils lim_x→∞f(x) = ∞ und lim_x→∞g(x) = 0.

(a): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x² und g : ℝ∖{0}→ ℝ,x↦ gilt: $( ) 2 1- lix→m∞(f(x)⋅g(x)) = lix→m∞ x ⋅x = xli→m∞ (x) = ∞$
(b): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x² und g : ℝ∖{0}→ ℝ,x↦− gilt: $( ) lim(f(x)⋅g(x)) = lim x2⋅ −-1 = lim (− x) = − ∞ x→∞ x→∞ x x→ ∞$
(c): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x und g : ℝ∖{0}→ ℝ,x↦ gilt: $( ) ( ) lim (f(x)⋅g(x)) = lim x⋅-1 = lim 1- = 0 x→ ∞ x→ ∞ x2 x→ ∞ x$
(d): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x² und g : ℝ∖{0}→ ℝ,x↦ gilt: $( ) lim (f(x)⋅g(x)) = lim x2⋅ 1408 = lim (1408) = 1408 x→∞ x→∞ x2 x→∞$
(e): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦−x und g : ℝ∖{0}→ ℝ,x↦ gilt: $( ) lim (f(x)⋅g(x)) = lim − x ⋅ 255 = lim(− 255) = − 255 x→ ∞ x→ ∞ x x→∞$

2.

Wir betrachten jeweils Grenzwerte für x →∞. Die betrachteten Funktionen f und g haben für x →∞ jeweils einen uneigentlichen Grenzwert. Genauer gesagt, gilt lim_x→∞f(x) = ∞. Zudem ist entweder lim_x→∞g(x) = ∞ oder lim_x→∞g(x) = −∞.

(a): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x² und g : ℝ → ℝ,x↦x gilt: $( ) ( 2) lim f(x) = lim x- = lim (x) = ∞ x→∞ g(x) x→ ∞ x x→∞$
(b): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦−x² und g : ℝ → ℝ,x↦x gilt: $( f(x)) ( − x2) lim ---- = lim ---- = lim (− x) = − ∞ x→ ∞ g(x) x→∞ x x→∞$
(c): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x und g : ℝ → ℝ,x↦x² gilt: $( ) ( ) f(x) ( x-) 1- xli→m∞ g(x) = lx→im∞ x2 = lx→im∞ x = 0$
(d): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦π ⋅x und g : ℝ → ℝ,x↦−x gilt: $( f(x)) ( π ⋅x) lim ---- = lim ---- = lim (− π) = − π x→ ∞ g(x) x→∞ − x x→∞$

3.

Wir betrachten jeweils Grenzwerte für x → 2. Denke dir selbst Funktionen f und g aus, die für x → a gegen 0 konvergieren. Dabei soll jeweils eine der folgenden Bedingungen erfüllt sein:

(a): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦x−2 und g : ℝ → ℝ,x↦(x−2)³ gilt: $( f(x)) ( x − 2 ) ( 1 ) lim ---- = lim ------3 = lim ------2 = ∞ x→2 g(x) x→2 (x− 2) x→2 (x− 2)$
(b): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦−(x−2) und g : ℝ → ℝ,x↦(x−2)³ gilt: $( f(x)) ( − (x − 2)) ( − 1 ) lim ---- = lim ------3- = lim ------2 = − ∞ x→2 g(x) x→2 (x− 2) x→2 (x− 2)$
(c): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦(x−2)² und g : ℝ → ℝ,x↦x−2 gilt: $( f(x)) ( (x− 2)2 ) lim ---- = lim ------- = lim (x− 2) = 0 x→2 g(x) x→2 x− 2 x→2$
(d): Für die Funktionen f : ℝ → ℝ,x↦π ⋅(x−2) und g : ℝ → ℝ,x↦−(x−2) gilt: $( ) ( ) lim f-(x) = lim π⋅(x−-2)- = lim (− π) = − π x→2 g(x) x→2 − (x − 2) x→2$

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