Zu Abschnitt 10.3 Monotonie und Beschranktheit

[nächste Seite] [vorherige Seite] [Ende der vorherigen Seite] [Ende dieser Seite] [übergeordnete Seite]

13.2.2 Zu Abschnitt 10.3 Monotonie und Beschränktheit

52 Lösung (zu Aufgabe 10.3.6).

1.

Untersuche die Folgenden Funktionen auf Monotonie und Beschränktheit:

(a)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦x ist streng monoton wachsend, da für alle x₁ < x₂ auch f(x₁) = x₁ < x₂ = f(x₂) gilt. Sie ist aber weder nach oben, noch nach unten beschränkt, da lim_x→±∞x = ±∞.

(b)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦x² ist nicht monoton, da

−1 < 0 und f(−1) = 1 > 0 = f(0), aber
0 < 1 und f(0) = 0 < 1 = f(1).

Aber es gilt: auf der Menge ℝ_≤0 ist f streng monoton fallend, und auf der Menge ℝ_≥0 streng monoton wachsend.

Die Funktion f ist nicht nach oben beschränkt, da lim_x→±∞x² = ∞. Da aber f(x) = x² ≥ 0 für alle x ∈ ℝ gilt, ist f durch 0 nach unten beschränkt.

(c)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦2^x ist streng monoton wachsend: es seien reelle Zahlen x₁ < x₂ gegeben. Da 2^x > 1 für alle x > 0, gilt:

f(x1)= 2x1 < 2x1⋅2x2−x1 = 2x1+x2−x1 = 2x2 = f (x2)

Die Funktion ist nicht nach oben beschränkt, da lim_x→∞2^x = ∞. Sie ist aber nach unten beschränkt, da 2^x > 0 für alle x ∈ ℝ.

(d)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦2^−x ist streng monoton fallend: es seien reelle Zahlen x₁ < x₂ gegeben. Da 2^x < 1 für alle x < 0, gilt:

−x1 −x1 x1−x2 − x1+x1− x2 −x2 f (x1)= 2 > 2 ⋅2 = 2 = 2 = f(x2)

Die Funktion ist nicht nach oben beschränkt, da lim_x→−∞2^−x = ∞. Sie ist aber nach unten beschränkt, da 2^x > 0 für alle x ∈ ℝ.

(e)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦−2^x ist streng monoton fallend: es seien reelle Zahlen x₁ < x₂ gegeben. Aus (c) wissen wir, dass dann 2^x₁ < 2^x₂ gilt. Multiplizieren wir diese Ungleichung nun mit (−1), so ergibt sich:

f(x )= − 2x1 > − 2x2 = f (x ) 1 2

Da lim_x→∞−2^x = −∞, ist f nicht nach unten beschränkt. Da aber −2^x < 0 für alle x ∈ ℝ, ist 0 eine obere Schranke von f.

(f)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦cos(x) ist nicht monoton, da

−π < 0 und cos(−π) = −1 < 1 = cos(0), aber
0 < π und cos(0) = 1 > −1 = cos(π).

Sie ist aber beispielsweise auf der Menge [−π,0] streng monoton wachsend und auf der Menge [0,π] streng monoton fallend.

Die Funktion ist sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt, da −1 ≤ cos(x) ≤ 1 für alle x ∈ ℝ.

(g)

Die Funktion f : ℝ → ℝ,x↦−|x| ist nicht monoton, da

−1 < 0 und f(−1) = −1 < 0 = f(0), aber
0 < 1 und f(0) = 0 > −1 = f(1).

Aber es gilt: auf der Menge ℝ_≤0 ist f streng monoton wachsend, und auf der Menge ℝ_≥0 streng monoton fallend.

Die Funktion ist durch 0 nach oben beschränkt, da −|x|≤ 0 für alle x ∈ ℝ. Sie ist aber nicht nach unten beschränkt, da lim_x→±∞(−|x|) = −∞.

(h)

Die Funktion f : ℝ_>1 → ℝ,x↦ -x-
x+1

ist streng monoton wachsend, denn es gilt

f (x) = --x-- = x+-1-−-1 = 1− --1-- x+ 1 x+ 1 x+ 1

und die Funktion ℝ_>1 → ℝ,x↦ -1-
x+1

ist streng fallend.

Die Funktion f durch 1 nach oben beschränkt. Sie ist aber nicht nach unten beschränkt, denn nähern wir uns mit x ∈ ℝ_>1 an die 1 an, so geht 1
x+1 gegen ∞.

(i)

Die Funktion f : ℝ_>0 → ℝ,x↦ x+x1

ist streng monoton fallend, denn es gilt

x+ 1 1 f(x) = ----- = 1+ -- x x

und die Funktion ℝ_>0 → ℝ,x↦

ist streng fallend.

Die Funktion f durch 1 nach unten beschränkt. Sie ist aber nicht nach oben beschränkt, denn nähern wir uns mit x ∈ ℝ_>0 an die 0 an ,so geht 1
x gegen ∞.

2.

Wir geben jeweils eine Funktion an, welche die genannten Eigenschaften hat. Dabei behelfen wir uns in (c), (f) und (h) eines eingeschränkten Definitionsbereichs, um diese Eigenschaften zu erzielen.

Die folgende Funktion ist ...

(a): ... monoton fallend, aber nicht streng monoton fallend: $(| ||| − 1 falls x < 0 |{ sgn:ℝ → ℝ,x↦→ | 0 falls x = 0 ||| |( 1 falls x > 0$
(b): ... streng monoton fallend und nicht nach unten beschränkt: $f : ℝ → ℝ,x ↦→ − x$
(c): ... streng monoton fallend und nach unten beschränkt: $1- f : ℝ>0 → ℝ, x↦→ x$
(d): ... weder monoton wachsend, noch monoton fallend: $f : ℝ → ℝ,x↦→ sin(x)$
(e): ... sowohl monoton wachsend, als auch monoton fallend: $f : ℝ → ℝ,x↦→ 7$
(f): ... sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt: $1- f : ℝ>1 → ℝ, x↦→ x$
(g): ... streng monoton wachsend und weder nach unten, noch nach oben beschränkt: $f : ℝ → ℝ,x↦→ x$
(h): ... monoton fallend und nach unten beschränkt, aber nicht nach oben beschränkt: $f : ℝ ≤1 → ℝ,x ↦→ − x$

3.

Es seien b ≥ 0 und a reelle Zahlen. Untersuchungen, in Abhängigkeit von a und b, der Exponentialfunktion

x f : ℝ → ℝ,x↦→ a⋅b

auf Monotonie und Beschränktheit liefern folgende Resultate:

(a)

Ist a > 0, so gilt:

Für b> 1 ist f streng monoton wachsend und durch 0 nach unten beschränkt, aber nach oben unbeschränkt.
Für b = 1 ist f konstant gleich a.
Für b < 1 ist f streng monoton fallend und durch 0 nach unten beschränkt, aber nach oben unbeschränkt.

(b)

Ist a = 0, so ist f konstant gleich 0.

(c)

Ist a < 0, so gilt:

Für b > 1 ist f streng monoton fallend und durch 0 nach oben beschränkt, aber nach unten unbeschränkt.
Für b = 1 ist f konstant gleich a.
Für b < 1 ist f streng monoton wachsend und durch 0 nach oben beschränkt, aber nach unten unbeschränkt.

Wir skizzieren zu jedem der Fälle den Graphen einer Beispielfunktion:

[nächste Seite] [vorherige Seite] [Ende der vorherigen Seite] [Anfang dieser Seite] [übergeordnete Seite]