40 Lösung (zu Aufgabe 9.4.6).

1.

Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

2.

Wir sollen uns nun selbst einige Beispiele ausdenken. Die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

(a)

a_n = −n ist nach oben, aber nicht nach unten beschränkt. In der Tat ist −n ≤−1 für alle n ≥ 1, sodass −1 eine obere Schranke ist. Da wir n beliebig hoch wählen können, finden wir für jede beliebige Zahl s ∈ ℝ einen Index n mit a_n = −n < s. Also kann (a_n) keine untere Schranke haben.

(b)

a_n = n² ist nach unten, aber nicht nach oben beschränkt. Genauer gesagt, ist 1 eine untere Schranke, da für alle n ≥ 1 auch n² ≥ 1 ist. Ist S ∈ ℝ, so können wir den Index n so hoch wählen, dass a_n = n² > S. (Beispielsweise kann man n als die aufgerundete Wurzel aus S wählen.) Daher kann (a_n) keine obere Schranke haben.

(c)

a_n = (−1)ⁿ ist sowohl nach unten, als auch nach oben beschränkt: die Folgenglieder springen zwischen 1 und −1 hin und her. Also sind alle Glieder ≤ 1 und ≥−1. Demnach ist 1 eine obere und −1 eine untere Schranke.

(d)

a_n = (−1)ⁿ ⋅n ist weder nach unten, noch nach oben beschränkt. Dies können wir leichter einsehen, wenn wir die Berechnungsvorschrift der Folge anders aufschreiben. Es gilt: Um über eine vorgegebene Zahl S∈ ℕ hinauszugehen, können wir uns ein gerades n wählen, das groß genug ist. Um eine vorgegebene Zahl s ∈ ℕ zu unterschreiten, können wir uns ein ungerades n wählen, das groß genug ist.

3.

Wir betrachten die Folge (a_n)_n∈ℕ mit ...

(a)

a_n = . Es gilt: Zudem gilt für alle n ∈ ℕ: Also ist die Folge beschränkt.

(b)

a_n = . Für alle n ∈ ℕ sind der Zähler (3n) und der Nenner (2n+1) jeweils > 0. Für n ∈ ℕ gilt daher folgende Abschätzung: Also ist die Folge beschränkt.

(c)

a_n = . Für alle n ∈ ℕ sind der Zähler (35n− 1) und der Nenner (7n + 1) jeweils > 0. Für n ∈ ℕ gilt daher folgende Abschätzung: Also ist (a_n) beschränkt.

(d)

a_n = . Es gilt: Zudem gilt für alle n ∈ ℕ: Insbesondere ist (a_n) beschränkt.

(e)

a_n = . Für alle n ∈ ℕ sind der Zähler (4n² − 3) und der Nenner (3n² + 2) jeweils > 0. Für n ∈ ℕ gilt daher folgende Abschätzung: Also ist die Folge beschränkt.

(f)

a_n = . Für alle n ∈ ℕ sind der Zähler (2ⁿ⁺³ −5) und der Nenner (2ⁿ⁻¹ +3) jeweils > 0. Für n ∈ ℕ gilt daher folgende Abschätzung: Insbesondere ist die betrachtete Folge beschränkt.

(g)

a_n = . Hier haben wir das Problem, dass der Zähler (2n−7) für n≤ 3 negativ ist. Wir betrachten daher erst den Fall n ≥ 4: hier sind sowohl Zähler, als auch Nenner > 0. Daher gilt für n ≥ 4 die Abschätzung Den Fall n ≤ 3 betrachten wir nun gesondert, indem wir die relevanten Folgenglieder einfach explizit ausrechnen:

Also ist a₁ das kleinste Glied der Folge. Insgesamt gilt daher

für alle n ∈ ℕ. Das heißt, die Folge ist beschränkt.

(h)

a_n = . Bei dieser Folge ist der Nenner (2n−5) für n ≤ 2 negativ. Wir betrachten daher wieder zwei Fälle. Zuerst handeln wir den Fall n ≥ 3 ab: hier sind sowohl Zähler, als auch Nenner > 0. Daher gilt für n ≥ 3 die Abschätzung Für den Fall n ≤ 2 berechnen wir die relevanten Folgenglieder wieder explizit:

Also ist a₂ das kleinste Glied der Folge. Insgesamt gilt daher

für alle n ∈ ℕ. Insbesondere ist (a_n) beschränkt.

4.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine arithmetische Folge mit Differenz d. Das heißt, es gilt die direkte Berechnungsvorschrift Daraus ergibt sich:

• Ist d > 0, so gilt a₁ ≤ a₁ + (n− 1) ⋅d = a_n für alle n ∈ ℕ. Das heißt, die Folge ist durch ihr Anfangsglied nach unten beschränkt. Sie ist aber nicht nach oben beschränkt, denn um eine gegebene Zahl S ∈ ℝ zu überschreiten, müssen wir den Index n nur groß genug wählen.
• Ist d = 0, so gilt a_n = a₁ +(n−1)⋅d = a₁ +0 = a₁. Das heißt, (a_n) ist konstant und damit beschränkt.
• Ist d < 0, so gilt a₁ ≥ a₁ + (n− 1) ⋅d = a_n für alle n ∈ ℕ. Das heißt, die Folge ist durch ihr Anfangsglied nach oben beschränkt. Sie ist aber nicht nach unten beschränkt, denn um eine gegebene Zahl s ∈ ℝ zu unterschreiten, müssen wir den Index n nur groß genug wählen.

5.

Es sei (a_n)_n∈ℕ eine geometrische Folge mit Anfangsglied a > 0 und Quotient q > 0. Das heißt, es gilt die direkte Berechnungsvorschrift Daraus ergibt sich:

Zeige, dass die folgenden Aussagen gelten:

• Ist q > 1, so ist qⁿ⁻¹ ≥ 1 für alle n ∈ ℕ. Daraus folgt, dass a_n = a⋅qⁿ⁻¹ ≥ a⋅1 = a. Also ist die Folge (a_n) durch a nach unten beschrankt. Sie ist aber nicht nach oben beschränkt, da qⁿ⁻¹ für ausreichend große n beliebig groß wird.
• Ist 0 < q ≤ 1, so ist für alle n ∈ ℕ auch 0 < qⁿ⁻¹ ≤ 1. Daraus folgt für alle n ∈ ℕ: 0 < a⋅qⁿ⁻¹ ≤ a. Also ist die Folge beschränkt.

6.

Wir betrachten wieder die Folge (a_n)_n∈ℕ , mit

aus Aufgabe 9.3.4. Dort haben wir gezeigt, dass (a_n)_n∈ℕ streng monoton wachsend ist. Wir wollen nun zeigen, dass die Folge beschränkt ist.

(a)

Da (a_n)_n∈ℕ streng monoton wächst, gilt a₁ < a_n für alle n ≥ 2. Demnach gilt für alle n ∈ ℕ: Das heißt, 1 ist eine untere Schranke von (a_n)_n∈ℕ.

(b)

Wir zeigen, dass für alle n ≥ 2 gilt: wenn a_n−1 < 9, dann ist auch a_n < 9.

(c)

Da a₁ = 1 < 9, können wir aus (b) folgern, dass a_n < 9 für alle n ∈ ℕ. Also ist 9 eine obere Schranke von (a_n).

Was ist nun, wenn wir ein anderes Anfangsglied wählen? Aus Aufgabe 9.3.4 wissen wir bereits, dass die Folge (a_n)_n∈ℕ konstant ist, wenn sie mit a₁ = 9 beginnt. Insbesondere ist die Folge dann beschränkt: 9 ist sowohl eine untere, als auch eine obere Schranke.

In Aufgabe 9.3.4 haben wir außerdem gezeigt, dass (a_n)_n∈ℕ streng monoton fällt, wenn wir a₁ = 16 wählen. Wir gehen nun analog zum Fall a₁ = 1 vor, um zu zeigen, dass die Folge dann auch beschränkt ist:

• Da (a_n)_n∈ℕ streng monoton fällt, gilt a₁ > a_n für alle n ≥ 2. Demnach gilt für alle n ∈ ℕ: Das heißt, 16 ist eine obere Schranke von (a_n)_n∈ℕ.
• Wir zeigen, dass für alle n ≥ 2 gilt: wenn a_n−1 > 9, dann ist auch a_n > 9.
  
• Es folgt, dass a_n > 9 für alle n ∈ ℕ. Also ist 9 eine untere Schranke von (a_n).